何を近似したか・何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第16章 §16.6　★★ 外場について最低次で打ち切ったこと、外場を光や分子の応答に比べてゆっくりした場としたこと、振動子を古典的に扱ったことの3つを札にする。測る量は半波長電圧・Kerr の比と温度依存性・Verdet 定数の波長依存性と往復の振る舞い

置いた近似

1つ目は外場についての展開の打ち切りである。電気光学では $E_0/E_{\mathrm{at}}$ の1次（Pockels）か2次（Kerr）で、磁気光学では $\omega_{\mathrm c}/\lvert \omega_0-\omega\rvert$ の1次で止めた。例題 16.1 のとおり $E_0/E_{\mathrm{at}}\sim10^{-6}$ なので、電場の展開はよく収束する。磁気光学では、共鳴の中（$\lvert \omega-\omega_0\rvert \lesssim\omega_{\mathrm c}$）で1次の展開が破れ、図 16.2 のように共鳴の分裂そのものを扱う必要がある。

2つ目は外場がゆっくり変わることである。Pockels 効果では、変調の角周波数 $\omega_{\mathrm m}$ が光の角周波数と格子の応答より十分低いとし、外場を静的な場として扱った。分子の向きによる Kerr 効果では、さらに電場の変化が分子の向きの緩和（小さな分子の液体でピコ秒の桁）より遅いとして、向きの熱平衡の分布を使った。光 Kerr 効果で光の周期の速さで向きを揃えることはできないので、光 Kerr 効果の向きの寄与は光の強度の時間平均に応答し、パルスが分子の緩和時間より短いと小さくなる。

3つ目は古典的な振動子のモデルである。Becquerel の式は、磁場が電子の軌道運動だけに作用し、Larmor の定理で磁場を消せることを前提にしている。電子のスピンと軌道の結合がある原子や、不対電子を持つ常磁性のイオン（希土類のイオンを含むガラス・結晶）では、磁場が基底状態の準位の占有にも差を作り、Verdet 定数が温度に反比例する寄与が加わる。光アイソレータに使う常磁性の結晶はこちらの寄与を使っており、Becquerel の式で大きさを見積もることはできない。

何の実験の量で確かめるか

Pockels 効果は、直交した偏光子の間で透過率を電圧の関数として測り、半波長電圧 $V_\pi$ を読むことで確かめる（図 16.1）。縦型の配置で $V_\pi$ が厚さによらないこと、結晶を回すと $V_\pi$ が対称性で決まる向きの依存性を示すことが、テンソル $r_{ijk}$ の形の検証になる。反転対称な結晶で1次の変化が見えないことも、対称性の議論の検証である。

Kerr 効果は、平行と垂直の2つの偏光の屈折率の変化を別々に測ると原因を分けることができる。電子の非線形性による寄与では、等方的な媒質の $\chi^{(3)}$ テンソルが共鳴から遠い所で全添字の入れ替えについて対称（Kleinman の対称性）になるので、$\Delta n_\parallel:\Delta n_\perp=3:1$ である。分子の向きの寄与では式 (16.20) の導出から $1:(-\frac12)$ である。温度を変えたとき、向きの寄与だけが $1/T$ で変わることも手がかりになる。

Faraday 効果は、Verdet 定数を波長の関数として測り、同じ物質の屈折率の分散 $\lambda\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda$ と比べると Becquerel の式を確かめることができる。比が温度に依れば、常磁性の寄与がある。光を往復させて回転の角が2倍になること（旋光性なら $0$ になること）が非相反性の直接の検証で、光アイソレータの消光比はその応用である。磁性体の薄膜のように光が通らない物質では、反射光の偏光の回転（磁気光学 Kerr 効果）を測る。名前は Kerr 効果と同じだが別の現象で、式 (16.12) の $g$ が反射係数に入ることによる。

授業で習った形との対応

学部の光学の授業では、Pockels 効果を「屈折率楕円体の係数が電場に比例して変わる」として $\Delta(1/n^2)_i=\sum_jr_{ij}E_j$（$i=1,\dots,6$ の Voigt の添字）と書き、主軸の屈折率を $n(E)=n-\frac12n^3rE$ と近似する。縦型の位相差 $\Gamma=\frac{2\pi}{\lambda}n_{\mathrm o}^3r_{63}V$ と半波長電圧 $V_\pi=\frac{\lambda}{2n_{\mathrm o}^3r_{63}}$、横型の $V_\pi=\frac{\lambda}{n^3r}\frac dL$、強度変調器の $T=\sin^2(\frac{\pi V}{2V_\pi})$ が定番の式である。これらは式 (16.9)・(16.10)・(16.14)・(16.15) と同じで、この章はそれに「係数がなぜ反転対称の無い結晶にだけあるか」「大きさが $E_0/E_{\mathrm{at}}$ で決まること」を振動子のモデルで付け加えた。Kerr 効果は $\Delta n=\lambda KE^2$（$K$ の字を $B$ と書く教科書もある）で、式 (16.17) と同じである。

Faraday 効果は授業では $\theta=\mathcal VBL$ と現象論で与え、Jones 行列で回転行列

$$R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$

として扱うことが多い。注意が要るのは、Jones 行列を光の進む向きに付いて回る座標系（$z$ 軸を常に $\bm{k}$ の向きに取る右手系）で書く流儀と、実験室に固定した座標系で書く流儀があることである。光の進む向きに付いた座標系では、旋光子は往路も復路も同じ $R(\theta)$ で、Faraday 回転子は往路 $R(\theta)$・復路 $R(-\theta)$ になる。実験室に固定した座標系では逆に、Faraday 回転子が往復とも同じ $R(\theta)$ で、旋光子が往路と復路で符号を変える。どちらの流儀でも、往復して元に戻るのは旋光子、戻らないのは Faraday 回転子である。この章と総合問題は、実験室に固定した座標系を使う。