この章のまとめ

(1) $\lambda^2=1.132\,\mathrm{\mu m^2}$, $\lambda_0^2=0.0225\,\mathrm{\mu m^2}$ から $n^2=1+1.5\times1.132/1.110=2.530$、$n=1.591$。$\mathrm{d}(n^2)/\mathrm{d}\lambda=-2S\lambda\lambda_0^2/(\lambda^2-\lambda_0^2)^2$ なので

$$\lambda\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} \lambda}=-\frac{S\lambda^2\lambda_0^2}{n(\lambda^2-\lambda_0^2)^2}=-\frac{1.5\times1.132\times0.0225}{1.591\times1.110^2}=-0.0195$$

である。式 (16.25) から $\mathcal V=\frac{e}{2mc}\times0.0195=293.3\times0.0195=5.72\,\mathrm{rad\,T^{-1}\,m^{-1}}$。

(2) $L=(\pi/4)/(\mathcal VB_0)=0.785/5.72=0.137\,\mathrm m$、つまり $13.7\,\mathrm{cm}$。反磁性のガラスでは $1\,\mathrm T$ でも十数 $\mathrm{cm}$ が要る。実用のアイソレータが Verdet 定数の大きい常磁性の結晶を使うのはこのためで、16.6節で述べたとおり、その大きさは Becquerel の式の外にある。

(3) 偏光子の透過軸の向きを $\varphi$ とすると、向き $\psi$ の直線偏光の透過率は $\cos^2(\psi-\varphi)$（Malus の法則、Jones 行列では射影 $\begin{pmatrix}\cos^2\varphi&\cos\varphi\sin\varphi\\ \cos\varphi\sin\varphi&\sin^2\varphi\end{pmatrix}$）である。順方向では、入口の偏光子を通った $0^\circ$ の偏光が回転子で $\theta$ になり、出口の $45^\circ$ の偏光子で $T_{\mathrm f}=\cos^2(\theta-45^\circ)$ が通る。戻り光は、出口の偏光子を逆向きに通って $45^\circ$ の偏光になり、回転子を $-z$ 向きに通る。Faraday 回転は磁場の向きで決まるので、実験室の座標でやはり $+\theta$ 回って $45^\circ+\theta$ になり、入口の偏光子で$T_{\mathrm b}=\cos^2(45^\circ+\theta)$ が通る。$\theta=45^\circ$ で $T_{\mathrm f}=1$, $T_{\mathrm b}=\cos^290^\circ=0$ である。$\theta=45^\circ+\delta$ なら $T_{\mathrm b}=\sin^2\delta$ で、$\delta=1^\circ$ では $3.05\times10^{-4}$、すなわち $-35.2\,\mathrm{dB}$。順方向の損失は $\cos^2\delta=0.9997$ でほとんど無い。

(4) $1030\,\mathrm{nm}$ では $n=1.591$、$\lambda\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda=-0.0209$、$\mathcal V=6.12\,\mathrm{rad\,T^{-1}\,m^{-1}}$ で、同じ $L$ での回転の角は $48.1^\circ$。$\delta=3.13^\circ$ なので $T_{\mathrm b}=\sin^2\delta=2.98\times10^{-3}$、つまり $-25.3\,\mathrm{dB}$ に悪化する。正常分散では短い波長ほど $\lvert \mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda\rvert$ が大きく、Verdet 定数はほぼ $\lambda^{-2}$ で大きくなるので、アイソレータは決まった波長で使い、波長を変えるときは磁石の位置で回転の角を合わせ直す。

(5) $\lambda/2$ 板は、速い軸の向き $\varphi_{\mathrm w}$ について偏光の向きを $\psi\to2\varphi_{\mathrm w}-\psi$ と折り返す。軸は実験室に固定されているので、この写像は光の向きに依らない。順方向では $0^\circ\to45^\circ$ で出口を通り、戻り光は $45^\circ\to2\times22.5^\circ-45^\circ=0^\circ$ になって入口の偏光子をそのまま通る（$T_{\mathrm b}=1$）。波長板は損失の無い異方性の媒質で、誘電率テンソルは実対称（$\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}$）である。Onsager の関係 (16.11) で外場が無ければ $\varepsilon$ は対称になり、対称な $\varepsilon$ の媒質では Lorentz の相反定理が成り立つので、順方向に通る光の経路を逆にたどる光は必ず通る。戻り光を止めるには相反定理を破る必要があり、それには時間反転で符号を変える外場（ここでは $\bm{B}_0$）が媒質に要る。