相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第10章 §3.10.2 ★★★ Eve の情報量は Holevo 量で、どんな測定でもそれを超えない。Eve は純粋化を持つと仮定してよく、そのとき鍵率は I ( A ; B ) − I ( A ; E ) I(A;B)-I(A;E) I ( A ; B ) − I ( A ; E )
Eve の情報量は Holevo 量
cq 状態 (3.10.3) の相互情報量は、Eve の状態の集まり { p ( a ) , ρ ^ E a } \{p(a),\hat\rho_E^a\} { p ( a ) , ρ ^ E a }
命題 3.10.2（cq 状態の相互情報量 ★★★）
I ( A ; E ) ρ = ∑ a p ( a ) D ( ρ ^ E a ∥ ρ ^ E ) = S ( ρ ^ E ) − ∑ a p ( a ) S ( ρ ^ E a ) = χ ( { p ( a ) , ρ ^ E a } ) . (3.10.5) I(A;E)_\rho=\sum_ap(a)\,D(\hat\rho_E^a\,\|\,\hat\rho_E)=S(\hat\rho_E)-\sum_ap(a)S(\hat\rho_E^a)=\chi(\{p(a),\hat\rho_E^a\}).\tag{3.10.5} I ( A ; E ) ρ = a ∑ p ( a ) D ( ρ ^ E a ∥ ρ ^ E ) = S ( ρ ^ E ) − a ∑ p ( a ) S ( ρ ^ E a ) = χ ({ p ( a ) , ρ ^ E a }) . ( 3.10.5 )
証明 ρ ^ A E \hat\rho_{AE} ρ ^ A E ρ ^ A ⊗ ρ ^ E = ∑ a p ( a ) ∣ a ⟩ ⟨ a ∣ ⊗ ρ ^ E \hat\rho_A\otimes\hat\rho_E=\sum_ap(a)| a \rangle \langle a |\otimes\hat\rho_E ρ ^ A ⊗ ρ ^ E = ∑ a p ( a ) ∣ a ⟩ ⟨ a ∣ ⊗ ρ ^ E a a a a a a Tr [ p ( a ) ρ ^ E a ( ln p ( a ) ρ ^ E a − ln p ( a ) ρ ^ E ) ] = p ( a ) D ( ρ ^ E a ∥ ρ ^ E ) \operatorname{Tr}[p(a)\hat\rho_E^a(\ln p(a)\hat\rho_E^a-\ln p(a)\hat\rho_E)]=p(a)D(\hat\rho_E^a\,\|\,\hat\rho_E) Tr [ p ( a ) ρ ^ E a ( ln p ( a ) ρ ^ E a − ln p ( a ) ρ ^ E )] = p ( a ) D ( ρ ^ E a ∥ ρ ^ E ) ∑ a p ( a ) Tr ρ ^ E a ln ρ ^ E = Tr ρ ^ E ln ρ ^ E \sum_ap(a)\operatorname{Tr}\hat\rho_E^a\ln\hat\rho_E=\operatorname{Tr}\hat\rho_E\ln\hat\rho_E ∑ a p ( a ) Tr ρ ^ E a ln ρ ^ E = Tr ρ ^ E ln ρ ^ E
右辺の χ \chi χ 第3部第2章 ）で凹性の差として、第3部第7章（第3部第7章 ）で通信の上限として現れた量である。各値 a a a a a a χ = 0 \chi=0 χ = 0
Eve の測定：Holevo 限界
Eve が手持ちの系 E E E { M ^ y } \{\hat M_y\} { M ^ y } Y Y Y ρ ^ ↦ ∑ y Tr ( M ^ y ρ ^ ) ∣ y ⟩ ⟨ y ∣ \hat\rho\mapsto\sum_y\operatorname{Tr}(\hat M_y\hat\rho)| y \rangle \langle y | ρ ^ ↦ ∑ y Tr ( M ^ y ρ ^ ) ∣ y ⟩ ⟨ y ∣ E E E ρ ^ A E ↦ ρ ^ A Y \hat\rho_{AE}\mapsto\hat\rho_{AY} ρ ^ A E ↦ ρ ^ A Y ρ ^ A ⊗ ρ ^ E ↦ ρ ^ A ⊗ ρ ^ Y \hat\rho_A\otimes\hat\rho_E\mapsto\hat\rho_A\otimes\hat\rho_Y ρ ^ A ⊗ ρ ^ E ↦ ρ ^ A ⊗ ρ ^ Y 第3部第3章 ）から
I ( A ; Y ) = D ( ρ ^ A Y ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ Y ) ≤ D ( ρ ^ A E ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ E ) = χ ( { p ( a ) , ρ ^ E a } ) (3.10.6) I(A;Y)=D(\hat\rho_{AY}\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_Y)\le D(\hat\rho_{AE}\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_E)=\chi(\{p(a),\hat\rho_E^a\})\tag{3.10.6} I ( A ; Y ) = D ( ρ ^ A Y ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ Y ) ≤ D ( ρ ^ A E ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ E ) = χ ({ p ( a ) , ρ ^ E a }) ( 3.10.6 )
を得る。これが Holevo 限界 で、どんな測定を選んでも Eve が得る古典の情報量は χ \chi χ
鍵配送でこの限界が要る理由は、Eve が測定を遅らせられることにある。Eve は量子ビットに触れたあと自分の系を量子のまま保存しておき、Alice と Bob が基底や誤り訂正の情報を公開し終えてから、その情報に合わせて測定を選ぶことができる。このため安全性は、特定の測定で得られる情報量でなく、どの測定に対しても成り立つ上限 χ \chi χ
Eve は純粋化を持つとしてよい
Alice と Bob の対の状態を ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B E ′ E' E ′ ρ ^ A B E ′ \hat\rho_{ABE'} ρ ^ A B E ′ ∣ ψ ⟩ A B E ′ R | \psi \rangle _{ABE'R} ∣ ψ ⟩ A B E ′ R E = E ′ R E=E'R E = E ′ R ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B E ′ E' E ′ E E E R R R I ( A ; E ′ ) ≤ I ( A ; E ) I(A;E')\le I(A;E) I ( A ; E ′ ) ≤ I ( A ; E ) ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B 第3部第1章 ）。そのユニタリは I ( A ; E ) I(A;E) I ( A ; E ) I ( A ; E ) I(A;E) I ( A ; E ) ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B Eve の情報量の上界は、Eve が ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B 。それ以上の情報を得る方法は Eve にはない。
この見方から、量子もつれの重要な性質が出てくる。
命題 3.10.3（純粋な対は外と相関しない ★★★）
ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B ρ ^ A B E \hat\rho_{ABE} ρ ^ A B E ρ ^ A B ⊗ ρ ^ E \hat\rho_{AB}\otimes\hat\rho_E ρ ^ A B ⊗ ρ ^ E
証明 I ( A B ; E ) = S ( A B ) + S ( E ) − S ( A B E ) I(AB;E)=S(AB)+S(E)-S(ABE) I ( A B ; E ) = S ( A B ) + S ( E ) − S ( A B E ) S ( A B ) = 0 S(AB)=0 S ( A B ) = 0 第3部第2章 ）から S ( A B E ) ≥ S ( E ) − S ( A B ) = S ( E ) S(ABE)\ge S(E)-S(AB)=S(E) S ( A B E ) ≥ S ( E ) − S ( A B ) = S ( E ) I ( A B ; E ) ≤ 0 I(AB;E)\le0 I ( A B ; E ) ≤ 0 I ( A B ; E ) = D ( ρ ^ A B E ∥ ρ ^ A B ⊗ ρ ^ E ) ≥ 0 I(AB;E)=D(\hat\rho_{ABE}\,\|\,\hat\rho_{AB}\otimes\hat\rho_E)\ge0 I ( A B ; E ) = D ( ρ ^ A B E ∥ ρ ^ A B ⊗ ρ ^ E ) ≥ 0 I ( A B ; E ) = 0 I(AB;E)=0 I ( A B ; E ) = 0 ρ ^ A B E = ρ ^ A B ⊗ ρ ^ E \hat\rho_{ABE}=\hat\rho_{AB}\otimes\hat\rho_E ρ ^ A B E = ρ ^ A B ⊗ ρ ^ E
Alice と Bob が Z Z Z X X X ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B Z ⊗ Z Z\otimes Z Z ⊗ Z X ⊗ X X\otimes X X ⊗ X + 1 +1 + 1 ( + 1 , + 1 ) (+1,+1) ( + 1 , + 1 ) ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ ρ ^ A B = ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ \hat\rho_{AB}=| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ | ρ ^ A B = ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ 3.10.3 から Eve の系は対と無相関で、I ( A ; E ) = 0 I(A;E)=0 I ( A ; E ) = 0 0 0 0 3.10.3 節で量的に調べる。
鍵率の定理
Alice と Bob と Eve が同じ状態 ρ ^ A B E \hat\rho_{ABE} ρ ^ A B E n n n A A A B B B ℓ n \ell_n ℓ n
定理 3.10.4（Devetak–Winter の定理 ★★★）
n → ∞ n\to\infty n → ∞ ℓ n / n \ell_n/n ℓ n / n r r r
r ≥ I ( A ; B ) − I ( A ; E ) ρ = S ( A ∣ E ) ρ − H ( A ∣ B ) (3.10.7) r\ge I(A;B)-I(A;E)_\rho=S(A\,|\,E)_\rho-H(A\,|\,B)\tag{3.10.7} r ≥ I ( A ; B ) − I ( A ; E ) ρ = S ( A ∣ E ) ρ − H ( A ∣ B ) ( 3.10.7 )
を満たす（単位は nat。ビットで数えるときは ln 2 \ln2 ln 2
証明は I. Devetak と A. Winter による1 1 I. Devetak and A. Winter (2005), Proc. R. Soc. A 461, 207. Eve も古典の値を持つ場合は I. Csiszár and J. Körner (1978), IEEE Trans. Inf. Theory 24, 339 が示していた。I ( A ; B ) = H ( A ) − H ( A ∣ B ) I(A;B)=H(A)-H(A\,|\,B) I ( A ; B ) = H ( A ) − H ( A ∣ B ) I ( A ; E ) = H ( A ) − S ( A ∣ E ) I(A;E)=H(A)-S(A\,|\,E) I ( A ; E ) = H ( A ) − S ( A ∣ E )
式 (3.10.7) の2つの項には、それぞれ手順の意味がある。H ( A ∣ B ) H(A\,|\,B) H ( A ∣ B ) S ( A ∣ E ) S(A\,|\,E) S ( A ∣ E ) 3.10.5 節で手順として確かめる。式 (3.10.7) は「比べる2つの分布」の相対エントロピー2つの差 D ( p A B ∥ p A p B ) − D ( ρ ^ A E ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ E ) D(p_{AB}\,\|\,p_Ap_B)-D(\hat\rho_{AE}\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_E) D ( p A B ∥ p A p B ) − D ( ρ ^ A E ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ E )
例題 3.10.2 直交しない2状態を盗み見る ★★
オリジナル Alice は確率 1 / 2 1/2 1/2 ∣ ψ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ | \psi_0 \rangle =| 0 \rangle ∣ ψ 0 ⟩ = ∣0 ⟩ ∣ ψ 1 ⟩ = ∣ + ⟩ | \psi_1 \rangle =| + \rangle ∣ ψ 1 ⟩ = ∣ + ⟩
Eve の情報量の上限 χ \chi χ
2つの状態を誤り確率が最小になるように見分ける測定（Helstrom の測定）は、誤り確率 P e = 1 2 ( 1 − 1 − c 2 ) P_{\mathrm e}=\frac12\bigl(1-\sqrt{1-c^2}\bigr) P e = 2 1 ( 1 − 1 − c 2 ) c = ∣ ⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩ ∣ c=\lvert \langle \psi_0 | \psi_1 \rangle \rvert c = ∣⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩∣ I ( A ; Y ) I(A;Y) I ( A ; Y ) (3.10.6) を確かめよ。
解答 (1) 純粋状態なので S ( ρ ^ E a ) = 0 S(\hat\rho_E^a)=0 S ( ρ ^ E a ) = 0 χ = S ( ρ ˉ ) \chi=S(\bar\rho) χ = S ( ρ ˉ ) ρ ˉ = 1 2 ( ∣ ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 ∣ + ∣ ψ 1 ⟩ ⟨ ψ 1 ∣ ) \bar\rho=\frac12(| \psi_0 \rangle \langle \psi_0 |+| \psi_1 \rangle \langle \psi_1 |) ρ ˉ = 2 1 ( ∣ ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 ∣ + ∣ ψ 1 ⟩ ⟨ ψ 1 ∣ ) ∣ ψ 0 ⟩ ± ∣ ψ 1 ⟩ | \psi_0 \rangle \pm| \psi_1 \rangle ∣ ψ 0 ⟩ ± ∣ ψ 1 ⟩ ( 1 ± c ) / 2 (1\pm c)/2 ( 1 ± c ) /2 c = ⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩ = 1 / 2 c=\langle \psi_0 | \psi_1 \rangle =1/\sqrt2 c = ⟨ ψ 0 ∣ ψ 1 ⟩ = 1/ 2
χ = h b ( 1 + c 2 ) = h b ( 0.8536 ) \chi=h_{\mathrm b}\Bigl(\frac{1+c}{2}\Bigr)=h_{\mathrm b}(0.8536) χ = h b ( 2 1 + c ) = h b ( 0.8536 )
で、ビットに直すと χ = 0.601 \chi=0.601 χ = 0.601
(2) P e = 1 2 ( 1 − 1 / 2 ) = 0.1464 P_{\mathrm e}=\frac12(1-1/\sqrt2)=0.1464 P e = 2 1 ( 1 − 1/ 2 ) = 0.1464 P e P_{\mathrm e} P e A A A I ( A ; Y ) = ln 2 − h b ( 0.1464 ) I(A;Y)=\ln2-h_{\mathrm b}(0.1464) I ( A ; Y ) = ln 2 − h b ( 0.1464 ) 1 − 0.6009 = 0.399 1-0.6009=0.399 1 − 0.6009 = 0.399 0.399 < 0.601 0.399<0.601 0.399 < 0.601 (3.10.6) が成り立っている。Eve が状態を量子のまま保存しても、そこから1回の測定で読み出せる情報量は χ \chi χ χ \chi χ
1 I. Devetak and A. Winter (2005), Proc. R. Soc. A 461, 207. Eve も古典の値を持つ場合は I. Csiszár and J. Körner (1978), IEEE Trans. Inf. Theory 24, 339 が示していた。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
