Galerkin 打ち切りの教訓：Lorenz 方程式

近似の数理　第9章 §9.6　★★ A 型の射影を非線型・長時間に使うと、誤差を制御する定理がなくなる

Rayleigh–Bénard 対流から3変数へ

下から加熱された流体層（Rayleigh–Bénard 対流）を、2次元・Boussinesq 近似・上下の境界で自由すべり、という最も単純な設定で考える。流れ関数 $\psi(x,z,t)$ と、線型な温度分布からのずれ $\theta(x,z,t)$ を未知数とし、層の厚さを $H$ とする。Saltzman は $\psi,\theta$ を 2 重 Fourier 級数に展開し、有限個のモードで打ち切った常微分方程式系を数値的に調べた。Lorenz（1963年）はそのうち最も少ない 3 つのモード

$$\psi\propto X(t)\sin\frac{\pi ax}{H}\sin\frac{\pi z}{H},\qquad \theta\propto Y(t)\cos\frac{\pi ax}{H}\sin\frac{\pi z}{H}-Z(t)\sin\frac{2\pi z}{H}\tag{9.29}$$

だけを残し、方程式をこれらのモードの上に射影した。これは第4章の Galerkin 法そのもの（A 型の射影）である。

射影で何が捨てられたかを具体的に見る。非線型項は Jacobi 行列式 $J(\psi,\theta)=\psi_x\theta_z-\psi_z\theta_x$ の形で現れる。$k=\pi a/H$、$m=\pi/H$ と書くと、直接計算により（検算スクリプト）

$$\begin{aligned}J\bigl(\sin kx\sin mz,\ \cos kx\sin mz\bigr)&=\frac{km}{2}\sin 2mz,\\ J\bigl(\sin kx\sin mz,\ \sin 2mz\bigr)&=km\cos kx\,\bigl(\sin 3mz-\sin mz\bigr).\end{aligned}$$

1つ目は $Z$ のモードそのものなので残る。2つ目のうち $\cos kx\sin mz$ は $Y$ のモードとして残るが、$\cos kx\sin3mz$ は 3 つのモードの外にあり、捨てられる。渦度の方程式の非線型項 $J(\psi,\nabla^2\psi)$ は、単一モードでは $\nabla^2\psi\propto\psi$ なので $0$ になる。こうして得られるのが Lorenz 方程式

$$\dot X=\sigma(Y-X),\qquad\dot Y=X(r-Z)-Y,\qquad\dot Z=XY-bZ\tag{9.30}$$

である。時間は熱拡散の時間で無次元化してあり、$\sigma=\nu/\kappa$ は Prandtl 数、$r=\mathrm{Ra}/\mathrm{Ra}_c$ は臨界値で割った Rayleigh 数、$b=4/(1+a^2)$ である。自由すべり境界での臨界 Rayleigh 数は $\mathrm{Ra}_c(a)=\pi^4(1+a^2)^3/a^2$ で、$a^2=1/2$ で最小値 $27\pi^4/4\approx657.5$ をとる。このとき $b=8/3$ となる。Lorenz が使った値 $\sigma=10$、$b=8/3$、$r=28$ はここから来ている（検算スクリプト）。

打ち切った系のカオスは元の系の縮図か

$r=28$ の Lorenz 方程式は、決定論的なのに非周期的で、初期値の微小な差が指数的に拡大する（最大 Lyapunov 指数はおよそ $0.9$。検算スクリプト）。軌道は図 9.2 のような奇妙なアトラクタに乗る。このアトラクタが本当に存在する（数値誤差の産物でない）ことは、Tucker による計算機援用証明で確かめられた。Lorenz 方程式は「決定論的な系がカオスを示しうる」ことの模範例として、数学的にも物理的にも大きな意味をもつ。

しかし、このカオスが元の対流の PDE の振る舞いを忠実に縮めたものだという保証はない。$r=28$ は $\mathrm{Ra}$ が臨界値の 28 倍の状態で、実際の対流はそこでは 3 次元的な構造をもち、2 次元・3 モードの記述とは対応しない。捨てたモード $\cos kx\sin3mz$ は、臨界点の近くでは振幅が小さく無視できるが、臨界から遠い所では小さい理由がない。より多くのモードを残した打ち切り系では、同じパラメータでの振る舞いが変わりうる。

この状況を、第4章の線型問題の Galerkin 法と比べる。線型の楕円型問題では、部分空間 $V_h$ 上の Galerkin 近似 $u_h$ について

$$\lVert u-u_h\rVert _{ H^1}\le\frac{\Lambda}{\lambda}\inf_{v\in V_h}\lVert u-v\rVert _{ H^1}\tag{9.31}$$

（Céa の補題）が成り立った。誤差は「真の解を部分空間でどれだけよく近似できるか」で抑えられ、解が滑らかなら少ないモードで十分である。時間発展の非線型問題では、打ち切りの誤差 $e(t)$（真の解の低次モードと打ち切り系の解の差）は、捨てたモードからの寄与を $\delta$、ベクトル場の Lipschitz 定数を $L$ とすると、Grönwall の不等式により

$$\lVert e(t)\rVert \le\lVert e(0)\rVert \mathrm{e}^{Lt}+\frac{\delta}{L}\bigl(\mathrm{e}^{Lt}-1\bigr)\tag{9.32}$$

としか抑えられない（検算スクリプト）。有限時間 $t$ なら $\delta\to0$ で誤差は $0$ に行くが、評価は時間について指数的に悪化する。カオス系では $\mathrm{e}^{Lt}$ の増大は評価の甘さでなく実際に起きることで（Lyapunov 指数がその速さ）、個々の軌道を長時間追うことは原理的にできない。長時間で問えるのは統計（不変測度、時間平均）だけだが、「打ち切り系の統計が元の系の統計に近い」ことを保証する一般的な定理はない。

例外的に、散逸の強い系では正の結果がある。2次元 NS 方程式では、有限個の Fourier モードの長時間の振る舞いが全体の長時間の振る舞いを決めること（決定モード、Foias–Prodi）が証明されている。また一部の散逸的な PDE では、有限次元の不変多様体（慣性多様体）の上に長時間の力学が乗ることが示されている。これらは「打ち切りが正当化できるための構造」が何であるかを示しているが、3次元の対流や乱流には適用できない。