拘束力の仕事と、速度の拘束

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第6章 §1.6.4　★★ 定常な拘束の力は仕事をしない。時刻を含む拘束は仕事をし、その仕事率は $-\lambda\,\partial\Phi/\partial t$。速度の拘束にも乗数はそのまま使える

仮想変位と実際の変位

時刻を止めたまま、拘束を保って座標を少しずらす変位を仮想変位と呼ぶ。仮想変位 $\delta x$ は $\sum_j(\partial\Phi_a/\partial x_j)\delta x_j=0$ を満たすので、拘束力 $\sum_a\lambda_a\nabla\Phi_a$ と直交し、

$$\sum_j\Bigl(\sum_a\lambda_a\frac{\partial \Phi_a}{\partial x_j}\Bigr)\delta x_j=0\tag{1.6.13}$$

が成り立つ。拘束力は仮想変位に対して仕事をしない。これを拘束力の性質として要請するのが d'Alembert の原理で、乗数の項の形 $\lambda\nabla\Phi$ はこの性質を言い換えたものになっている。

実際の運動の変位 $\dot x\,\mathrm{d} t$ は仮想変位とは限らない。$\Phi_a(x(t),t)=0$ を時刻で微分すると$\sum_j(\partial\Phi_a/\partial x_j)\dot x_j+\partial\Phi_a/\partial t=0$ なので、拘束力が単位時間にする仕事（仕事率）は

$$P=\sum_j\Bigl(\sum_a\lambda_a\frac{\partial \Phi_a}{\partial x_j}\Bigr)\dot x_j=-\sum_a\lambda_a\frac{\partial \Phi_a}{\partial t}\tag{1.6.14}$$

である。スクレロノミックな拘束では $\partial\Phi_a/\partial t=0$ なので $P=0$ で、拘束力は実際の運動に対しても仕事をしない。このとき式 (1.6.9) の両辺に $\dot x_j$ を掛けて足すと $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(T+V)=P=0$ となり、力学的エネルギーが保存する。例題 1.6.3 でエネルギー保存を使えたのはこのためである。レオノミックな拘束では、拘束を動かす外部の何か（糸を巻き取る手・棒を回すモーター）が系に仕事をし、エネルギーは保存しない。

速度の拘束

非ホロノミック拘束 (1.6.3) では、各時刻に許される速度の向きが $\sum_ja_{aj}\dot x_j+a_{at}=0$ で決まり、仮想変位はこれの時刻を止めた版 $\sum_ja_{aj}\delta x_j=0$ を満たす。d'Alembert の原理（拘束力は仮想変位に対して仕事をしない）を課すと、拘束力は $\sum_a\lambda_a a_{aj}$ の形に限られ、運動方程式は

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot x_j}-\frac{\partial L}{\partial x_j}=\sum_a\lambda_a(t)\,a_{aj}(x,t)\tag{1.6.15}$$

になる。ホロノミックな場合は $a_{aj}=\partial\Phi_a/\partial x_j$ とおいたもので、式 (1.6.8) と一致する。

スケートの刃で確かめる。刃の質量を $m$、接点のまわりの慣性モーメントを $I$ とし、$L=\frac12m(\dot x^2+\dot y^2)+\frac12I\dot\varphi^2$、拘束 (1.6.4) から $(a_x,a_y,a_\varphi)=(\sin\varphi,-\cos\varphi,0)$ なので

$$m\ddot x=\lambda\sin\varphi,\qquad m\ddot y=-\lambda\cos\varphi,\qquad I\ddot\varphi=0 .$$

3本目から $\dot\varphi=\Omega$ は一定である。刃の向きの速さ $v=\dot x\cos\varphi+\dot y\sin\varphi$ を時間で微分すると、拘束力の項は $\lambda(\sin\varphi\cos\varphi-\cos\varphi\sin\varphi)=0$ で消え、残りは $\Omega(-\dot x\sin\varphi+\dot y\cos\varphi)$ で拘束 (1.6.4) により $0$ になる。よって $v$ も一定で、刃は速さ $v$・角速度 $\Omega$ で半径 $v/\Omega$ の円を描く。乗数は $\lambda=-mv\Omega$ で、拘束力の大きさ $mv\Omega=mv^2/(v/\Omega)$ はちょうど円運動の向心力になっている。刃の拘束はスクレロノミックなので、エネルギー $\frac12mv^2+\frac12I\Omega^2$ も保存する。