Lagrange の第1種の方程式と拘束力

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第6章 §1.6.3　★★★ $L=T-V$ に乗数を足すと、Newton の運動方程式に拘束力 $\lambda\nabla\Phi$ を足した形が出る。乗数は拘束を2回微分して状態の関数として決まる

乗数は拘束力

$L=\sum_j\frac12m_j\dot x_j^2-V(x)$ を直交座標で書くと、定理 1.6.1 の式 (1.6.8) は

$$m_j\ddot x_j=-\frac{\partial V}{\partial x_j}+\sum_{a=1}^k\lambda_a\frac{\partial \Phi_a}{\partial x_j}\tag{1.6.9}$$

になる。これを Lagrange の第1種の方程式と呼ぶ。右辺の第1項はポテンシャルの力、第2項はそれ以外の力で、拘束を保つために働く力、すなわち拘束力である。拘束力 $\sum_a\lambda_a\nabla\Phi_a$ は拘束面の法線の向き（$\nabla\Phi_a$ の向き）を向き、その大きさを決めるのが乗数である。一般化座標で拘束を消した Euler–Lagrange 方程式（これを第2種の方程式と呼ぶ）には、この項は現れない。

振り子で確かめる

長さ $l$ の振り子を、鉛直下向きを $y$ 軸にとって直交座標 $(x,y)$ で書く。ポテンシャルは $V=-mgy$、拘束は計算を簡単にするため $\frac12$ を付けて

$$L=\frac12m(\dot x^2+\dot y^2)+mgy,\qquad \Phi=\frac12\bigl(x^2+y^2-l^2\bigr)=0$$

とする。式 (1.6.9) は

$$m\ddot x=\lambda x,\qquad m\ddot y=mg+\lambda y\tag{1.6.10}$$

で、未知数は $x,y,\lambda$ の3つ、式は拘束を合わせて3本ある。

乗数を求めるには拘束を時間で2回微分する。$\Phi=0$ が常に成り立つので $\dot\Phi=x\dot x+y\dot y=0$、もう一度微分して $x\ddot x+y\ddot y+\dot x^2+\dot y^2=0$ である。ここに式 (1.6.10) の加速度を入れると $\frac{\lambda}{m}(x^2+y^2)+gy+v^2=0$（$v^2=\dot x^2+\dot y^2$）となり、$x^2+y^2=l^2$ を使って

$$\lambda=-\frac{m\,(v^2+gy)}{l^2}\tag{1.6.11}$$

を得る。乗数は位置と速度の関数として決まり、加速度を含まない。拘束力は $\lambda(x,y)$ で、$\lambda<0$ なので支点の向きを向く。その大きさ、すなわち糸の張力は、鉛直からの角度を $\theta$（$y=l\cos\theta$）として

$$F_{\mathrm t}=\lvert \lambda\rvert \,l=\frac{mv^2}{l}+mg\cos\theta\tag{1.6.12}$$

になる。一般化座標 $\theta$ だけで書いた Euler–Lagrange 方程式 $l\ddot\theta=-g\sin\theta$ からは張力は出てこない。第1種の方程式を解けば、運動と同時に張力も求まる。

水平の位置（$\theta=\pi/2$）から静かに放すと、エネルギー保存から $v^2=2gl\cos\theta$ なので $F_{\mathrm t}=3mg\cos\theta$ となり、最下点の張力は重さの3倍になる（図 1.6.2）。第1種の方程式 (1.6.10) を $\lambda$ に式 (1.6.11) を入れて数値で積分すると、拘束は自動的に保たれ（$l=1\,\mathrm m$ で $0.8\,\mathrm s$ 積分して $x^2+y^2-l^2$ のずれは $10^{-7}$ 以下）、張力も $3mg\cos\theta$ に一致する。

拘束は硬いばねの極限

本物の糸や棒は少しだけ伸び縮みする。糸を、自然長 $l$・ばね定数 $k$ のとても硬いばねと考えると、拘束力は $-k(r-l)$ というばねの力で、$k\to\infty$ でばねの伸びは $0$ に、力は有限の値に近づく。理想的な拘束は、この極限を最初から取ったものである。振り子で確かめると、水平の位置から自然長・速度 $0$ で放したとき、$k/m=10^4\,\mathrm s^{-2}$ と $10^6\,\mathrm s^{-2}$ では、剛体の振り子の角度との差（$0.6\,\mathrm s$ まで）が $k$ を100倍にすると1桁以上小さくなる。ただし極限の取り方には注意が要る。始めにばねの向きの振動を励起してしまうと、その速い振動のエネルギーが遅い運動に影響を残しうる。拘束を極限として正当化する話は、時間のスケールが分かれた系の極限の問題で、第V巻で扱う。