未定乗数：拘束のもとでの停留

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第6章 §1.6.2　★★★ 停留点では目的の勾配が拘束の勾配の線型結合になる。その係数が乗数で、時刻ごとの拘束なら $\lambda(t)$ という関数になる

有限次元の未定乗数

2変数の関数 $f(x,y)$ を、曲線 $\Phi(x,y)=0$ の上だけで動かして停留点を探す問題から始める。曲線の上の点 $P$ から曲線に沿って少し動く向きを $h$ とすると、$h$ は曲線の接線方向で、$\nabla\Phi\cdot h=0$ を満たす。$P$ が曲線の上での停留点であるとは、この向きの方向微分が $0$、すなわち $\nabla f\cdot h=0$ になることである。$\nabla f$ が接線方向の成分を持てば、その向きに動いて $f$ を増やすことも減らすこともできるからである。接線に垂直な向きは $\nabla\Phi$ の向きしかないので、停留点では $\nabla f$ と $\nabla\Phi$ が平行になり、ある数 $\lambda$ があって

$$\nabla f=\lambda\,\nabla\Phi,\qquad \Phi=0\tag{1.6.5}$$

が成り立つ（図 1.6.1）。幾何学的には、$f$ の等高線が拘束の曲線に接する点が停留点である。

式 (1.6.5) は、新しい関数 $f-\lambda\Phi$ を $x,y,\lambda$ の3変数の関数とみて、拘束を忘れて普通に停留点を探した条件と同じである。$x,y$ の偏微分を $0$ とおくと $\nabla f-\lambda\nabla\Phi=0$ が、$\lambda$ の偏微分を $0$ とおくと $\Phi=0$ が出る。変数が $M$ 個で拘束が $k$ 本でも同じで、拘束の勾配が独立な点では、停留点で

$$\frac{\partial f}{\partial x_j}=\sum_{a=1}^k\lambda_a\frac{\partial \Phi_a}{\partial x_j}\qquad(j=1,\dots,M)\tag{1.6.6}$$

が成り立つ。これは $f-\sum_a\lambda_a\Phi_a$ を $M+k$ 個の変数で停留させた条件で、未知数 $x_j,\lambda_a$ が $M+k$ 個、式も $M+k$ 本ある。

乗数は感度

乗数は計算の途中で消すための補助の数に見えるが、それ自身に意味がある。拘束を $\Phi(x)=c$ と書き、$c$ を少し変えたときの停留値 $f^*(c)$ の変化を考える。停留点 $x^*(c)$ は $c$ とともに動くので、連鎖律と式 (1.6.5) から

$$\frac{\mathrm{d} f^*}{\mathrm{d} c}=\nabla f\cdot\frac{\mathrm{d} x^*}{\mathrm{d} c}=\lambda\,\nabla\Phi\cdot\frac{\mathrm{d} x^*}{\mathrm{d} c}=\lambda\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} c}\Phi(x^*(c))=\lambda\tag{1.6.7}$$

を得る（最後は $\Phi(x^*(c))=c$ を $c$ で微分した）。乗数は、拘束の値を1単位ゆるめたときに最適値がどれだけ変わるかを表す。1.6.5節で等周問題の乗数を、1.6.6節で熱力学の逆温度を、この式で読む。

時刻ごとの拘束と乗数の関数

作用 $S[x]=\int_{t_1}^{t_2}L(x,\dot x,t)\,\mathrm{d} t$ を、各時刻で拘束 $\Phi_a(x(t),t)=0$ を満たす経路の中で停留させる問題に移る。多変数の場合と比べると、拘束が時刻 $t$ ごとに1本ずつ、すなわち連続無限個ある。そこで乗数も時刻ごとに1つずつ、つまり時刻の関数 $\lambda_a(t)$ になる。

証明

簡単のため $k=1$ とし、式 (1.6.8) の左辺を $E_j(t)$ と書く。端を固定した許される向き $\eta(t)$ に対する第1変分は、第1部第4章の計算と同じ部分積分で$\delta S=\epsilon\int\sum_j(-E_j)\eta_j\,\mathrm{d} t$ となる。拘束を保つ向きは、拘束を $\epsilon$ の1次で保つ $\sum_j(\partial\Phi/\partial x_j)\eta_j=0$ を各時刻で満たす（勾配が $0$ でなければ、陰関数定理によりこの向きに接する拘束上の経路の族が作れる）。$\bm{a}(t)=(\partial\Phi/\partial x_j)_j$、$\bm{E}(t)=(E_j)_j$ とおき、$\lambda(t)=\bm{E}\cdot\bm{a}/\lvert \bm{a}\rvert ^2$ と決めると、$\bm{E}-\lambda\bm{a}$ は各時刻で $\bm{a}$ に垂直になる。そこで端で $0$ になる任意の関数 $\psi(t)\ge0$ を使って $\eta=\psi(t)(\bm{E}-\lambda\bm{a})$ と選ぶと、これは拘束を保つ向きで、$\delta S=-\epsilon\int\psi\,\bm{E}\cdot(\bm{E}-\lambda\bm{a})\,\mathrm{d} t=-\epsilon\int\psi\lvert \bm{E}-\lambda\bm{a}\rvert ^2\mathrm{d} t$ となる（$\lambda\bm{a}\cdot(\bm{E}-\lambda\bm{a})=0$ を使った）。停留なら $\psi$ によらずこれが $0$ なので、第1部第3章の基本補題と同じ議論で $\bm{E}=\lambda\bm{a}$ が各時刻で成り立つ。逆に $\bm{E}=\lambda\bm{a}$ なら、拘束を保つ向きでは $\bm{E}\cdot\eta=\lambda\,\bm{a}\cdot\eta=0$ なので $\delta S=0$ である。

証明で $\lambda(t)$ を「$\bm{E}$ の $\bm{a}$ 方向の成分」として作ったことに注意する。運動は拘束に沿う向きの式（$f$ 本）で決まり、乗数は拘束に垂直な向きの式（$k$ 本）で決まる。乗数は未知の関数として加わるが、拘束の式 $\Phi_a=0$ も $k$ 本加わるので、未知の関数と式の数は $M+k$ 本でつり合う。