授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第6章 §1.6.6　★★ 力の図を描いて張力・垂直抗力を未知数に置く Newton の解き方は、第1種の方程式そのもの。統計力学の最大エントロピーの乗数も同じ道具

力の図と第1種の方程式

解析力学を使わない力学の授業では、振り子を次のように解く。おもりにかかる力を図に描き、重力 $m\bm{g}$ と張力（大きさ $F_{\mathrm t}$、支点向き）を未知数として Newton の運動方程式を立て、円運動の動径方向と接線方向に分ける。

$$\text{動径方向：}\ ml\dot\theta^2=F_{\mathrm t}-mg\cos\theta,\qquad \text{接線方向：}\ ml\ddot\theta=-mg\sin\theta .\tag{1.6.19}$$

運動は接線方向の式で決まり、張力は動径方向の式で決まる。この章の言葉では、接線方向の式が拘束に沿う向きの式（一般化座標 $\theta$ の Euler–Lagrange 方程式）で、動径方向の式が拘束に垂直な向きの式、すなわち乗数を決める式である。実際、動径方向の式から出る $F_{\mathrm t}=ml\dot\theta^2+mg\cos\theta$ は、$v=l\dot\theta$ として式 (1.6.12) と同じである。「張力」「垂直抗力」「束縛力」と呼んで力の図に描き込んでいた矢印が、乗数 $\lambda$ と拘束の勾配の積 $\lambda\nabla\Phi$ にあたる。授業の解き方では「張力は糸の向き」「垂直抗力は面に垂直」を図から読み取っていたが、この章ではそれを $\nabla\Phi$ の向きとして、また d'Alembert の原理（仮想変位に仕事をしない）として導いた。

両者の違いは、拘束が込み入ったときに現れる。力の図を描く方法では、拘束力の向きをその都度見抜く必要があり、刃の拘束のように「横には進めない」という速度の拘束では向きを見抜きにくい。第1種の方程式では、拘束の式から $\nabla\Phi$ や $a_{aj}$ を機械的に計算すれば向きが決まる。

最大エントロピーと乗数

統計力学の授業では、カノニカル分布を「エネルギーの平均値を決めたうえでエントロピーを最大にする分布」として導くことがある。状態 $i$ の確率を $p_i$、エネルギーを $E_i$ とし、$S/ k_{\mathrm B}=-\sum_ip_i\ln p_i$ を2つの拘束 $\sum_ip_i=1$ と $\sum_ip_iE_i=U$ のもとで最大にする。乗数を $\alpha$, $\beta$ として

$$\frac{\partial }{\partial p_i}\Bigl[-\sum_lp_l\ln p_l-\alpha\Bigl(\sum_lp_l-1\Bigr)-\beta\Bigl(\sum_lp_lE_l-U\Bigr)\Bigr]=-\ln p_i-1-\alpha-\beta E_i=0$$

から $p_i\propto\mathrm{e}^{-\beta E_i}$ が出る。これは式 (1.6.6) の有限次元の未定乗数そのもので、エネルギーの拘束の乗数がカノニカル分布の $\beta$ になる。さらに式 (1.6.7) の感度の読み方から、最大エントロピー $S^*(U)$ について $\frac{\mathrm{d} (S^*/ k_{\mathrm B})}{\mathrm{d} U}=\beta$ が成り立つ。これは熱力学の $\partial S/\partial U=1/T$ と同じ式で、乗数 $\beta=1/( k_{\mathrm B} T)$ が温度の逆数であることがここから分かる。カノニカル分布の導出そのものは 第3部第3章で扱う。