積分の拘束：等周問題と固有値

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第6章 §1.6.5　★★★ 拘束が積分 $C[q]=c$ 1本なら乗数は定数1つ。$\int\dot q^2$ を $\int q^2=1$ のもとで停留させると固有値問題になり、乗数が固有値になる

等周問題

ここまでの拘束は各時刻に1本ずつだった。これと別の種類の拘束に、汎関数の値を1つ決める

$$C[q]=\int_{t_1}^{t_2}K(q,\dot q,t)\,\mathrm{d} t=c\tag{1.6.16}$$

がある。周の長さを決めて囲む面積を最大にする問題が昔からの例で、このため汎関数 $F[q]$ を積分の拘束のもとで停留させる問題を等周問題と呼ぶ。拘束は全体で1本なので、乗数も時刻によらない定数1つになる。

時刻ごとの拘束（定理 1.6.1）では乗数が時刻ごとに違ってよかったのに、ここでは定数になる。拘束の本数（時刻ごとに1本か、全体で1本か）と乗数の個数が一致している。

乗数が固有値になる

$[0,1]$ 上で $q(0)=q(1)=0$ を満たす経路のうち、$\int_0^1q^2\,\mathrm{d} t=1$ を満たすもので $F[q]=\int_0^1\dot q^2\,\mathrm{d} t$ を最小にする問題を考える。第1部第3章の汎関数微分 $\delta F/\delta q(t)=-2\ddot q$, $\delta C/\delta q(t)=2q$ を式 (1.6.17) に入れると

$$-\ddot q=\lambda\,q,\qquad q(0)=q(1)=0\tag{1.6.18}$$

を得る。これは固有値問題で、解は $q_n=\sqrt2\sin n\pi t$、乗数は $\lambda=n^2\pi^2$（$n=1,2,\dots$）に限られる。停留値は、部分積分と式 (1.6.18) から $F[q_n]=\int(-q_n\ddot q_n)\,\mathrm{d} t=\lambda\int q_n^2\,\mathrm{d} t=\lambda$ で、乗数そのものになる。最小値は $n=1$ の $\pi^2$ である。これは第1部第3章の Wirtinger の不等式 $\int\dot\eta^2\ge\pi^2\int\eta^2$ の定数 $\pi^2$ が、ちょうどこの最小値であることを示している。拘束を $\int q^2=c$ に変えると最小値は $\pi^2c$ になり、$c$ で微分して $\pi^2=\lambda$ となる。式 (1.6.7) の「乗数は感度」は、積分の拘束でもそのまま成り立つ。数値でも、$[0,1]$ を $2000$ 等分して差分にした行列の最小固有値は $9.86960$ で、$\pi^2=9.86960$ と5桁一致する。

量子力学の基底状態はこの形の問題である。エネルギーの期待値 $\int\bigl(\frac{\hbar^2}{2m}\lvert \psi'\rvert ^2+V\lvert \psi\rvert ^2\bigr)\mathrm{d} x$ を規格化 $\int\lvert \psi\rvert ^2\mathrm{d} x=1$ のもとで停留させると、式 (1.6.17) は時間によらない Schrödinger 方程式になり、乗数がエネルギー固有値になる。経路を有限個の関数の線型結合に限ってこの停留問題を解くのが Rayleigh–Ritz の方法で、得られる固有値が真の値の上界になることは 近似の数理 第4章で示されている。

図 1.6.3　両端 $(\pm a,0)$ を決め、長さ $\ell$ の曲線で $x$ 軸との間に囲む面積を最大にする曲線は円弧になる（例題 1.6.5。$a=1$）。長さを増やすと円弧の半角 $\alpha$ が増え、$\ell=\pi a$ で半円になる。乗数 $\lambda$ は円弧の半径 $R$ に等しく（破線は $\alpha=1$ の半径）、面積の長さについての変化率 $\mathrm{d} A/\mathrm{d}\ell$ に等しい