この章のまとめ

(1) 準位 $\hbar\omega(n+\frac12)$ の和から $Z=1/(2\sinh(x/2))$、$F= k_{\mathrm B} T\ln(2\sinh(x/2))$、$U=\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac x2$、$S_{\text{熱}}/ k_{\mathrm B}=\beta(U-F)=\frac x2\coth\frac x2-\ln\bigl(2\sinh\frac x2\bigr)$。$x=1$ で $Z=0.9595$、$F=0.04132\,\hbar\omega$、$U=1.0820\,\hbar\omega$、$S_{\text{熱}}=1.0407\, k_{\mathrm B}$。$S_{\text{熱}}$ は $x$ だけの関数である。

(2) 古典は $F_{\mathrm{cl}}= k_{\mathrm B} T\ln x$ で、厳密な差は $k_{\mathrm B} T\ln\bigl(2\sinh(x/2)/x\bigr)=0.041325\, k_{\mathrm B} T$。$\hbar^2$ の補正は $k_{\mathrm B} T\,x^2/24=0.041667\, k_{\mathrm B} T$（差 $0.8\%$）、次の項 $- k_{\mathrm B} T\,x^4/2880$ まで含めると $0.041319\, k_{\mathrm B} T$（差 $0.015\%$）。$x=1$ でも展開がよく合うのは、$\ln(2\sinh(x/2)/x)$ の $x$ についての級数の収束半径が $\lvert x\rvert =2\pi$（$\sinh(x/2)$ の零点 $x=2\pi\mathrm{i}$ まで）で、$x=1$ がその十分内側にあるためである。

(3) 例題 5.1.5 から $\langle \hat q^2 \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}\coth\frac x2=1.0820\,\hbar/(m\omega)$。もう一方は、$\partial\hat H/\partial\omega=m\omega\hat q^2$ と$\frac{\partial F}{\partial \omega}= k_{\mathrm B} T\cdot\frac{\beta\hbar}{2}\coth\frac{x}{2}=\frac\hbar2\coth\frac x2$ から $\langle \hat q^2 \rangle =\frac{1}{m\omega}\frac{\partial F}{\partial \omega}=\frac{\hbar}{2m\omega}\coth\frac x2$ で一致する。古典の $k_{\mathrm B} T/(m\omega^2)=1$ より $8\%$ 大きい。揺らぎ（左）と、外から $\omega$ を変えたときの自由エネルギーの応答（右）が同じ量を与えるのは、揺動散逸定理の静的な形である。

(4) 量子の断熱定理により、ゆっくりした変化では各準位 $n$ の占有確率 $p_n$ が保たれる（第4部第9章）。はじめ $p_n\propto\mathrm{e}^{-n\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T}$ で、終わりの準位の間隔は $2\hbar\omega$ なので、$p_n\propto\mathrm{e}^{-n\cdot2\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T'}$ と書くには $T'=2T$ とすればよい。終わりの状態は温度 $2T$ のカノニカル分布である。$x'=2\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T'=x$ は変わらず、$S_{\text{熱}}$ は $x$ だけの関数なので $1.0407\, k_{\mathrm B}$ のまま変わらない。$U=\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac x2$ は $\omega$ に比例して2倍の $2.164\,\hbar\omega$ になる。第3部第5章の古典の断熱不変量 $E/\omega$ と同じ結論で、量子では $S(\hat\rho)$ が保たれることがその中身である（第3部第5章）。

(5) 試しの状態での平均は $s\coloneqq\langle \hat q^2 \rangle _0=\frac{\hbar}{2m\Omega}\coth\frac{\beta\hbar\Omega}{2}$、$\langle \hat q^4 \rangle _0=3s^2$（Gauss 状態）なので、

$$F\le F_{\mathrm{var}}(\Omega)= k_{\mathrm B} T\ln\Bigl(2\sinh\frac{\beta\hbar\Omega}{2}\Bigr)+\frac m2(\omega^2-\Omega^2)\,s+3\lambda s^2$$

である。数値で最小にすると $\Omega^*=1.332\,\omega$、$F_{\mathrm{var}}=0.2347\,\hbar\omega$。$\hat H$ を振動子の基底 150 個で対角化した厳密な値は $F=0.2261\,\hbar\omega$（基底状態 $0.5591\,\hbar\omega$）で、上界は $0.0086\,\hbar\omega$（$4\%$）だけ高い。$\Omega=\omega$ のまま $\lambda\langle \hat q^4 \rangle _0$ を足しただけの1次の摂動 $0.3925\,\hbar\omega$ に比べて、ばねを硬くした試しの方がはるかに良い。4次の項は粒子を中心に押し込めるので、実効的なばねが硬くなる（$\Omega^*>\omega$）。第3部第7章では同じ形の変分を古典の系で行った。ここでは $\hat q$ と $\hat p$ が交換しないため $\langle \hat q^2 \rangle _0$ に零点の揺らぎが入るが、同じ不等式を量子の系のまま使ってよいことを定理 5.1.3 が保証している。