授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第1章 §5.1.6　★★ 授業の $Z=\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}$・$1/(N!h^{3N})$・「準位に粒子を置く」数え方・Planck の平均エネルギーは、どれも $\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ の別の書き方

統計力学の授業では、量子統計を次の順に習うことが多い。まず準位 $E_n$ が分かっている系に

$$Z=\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n},\qquad \langle A \rangle =\frac1Z\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}\langle n | \hat A | n \rangle\tag{5.1.32}$$

を当てる。次に古典の気体には

$$Z=\frac{1}{N!h^{3N}}\int\mathrm{d}^{3N}q\,\mathrm{d}^{3N}p\;\mathrm{e}^{-\beta H}\tag{5.1.33}$$

を使い、$h^{3N}$ は「相空間を $h$ の大きさの升目で数える」、$N!$ は「同じ粒子の入れ替えを重複して数えない」と説明する。最後に、理想気体を1粒子の準位 $\varepsilon _k$ と占有数 $n_k$ で書き、Bose 粒子では $n_k=0,1,2,\dots$、Fermi 粒子では $n_k=0,1$ として

$$\Xi=\prod_k\sum_{n_k}\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon _k-\mu)n_k}\tag{5.1.34}$$

を計算する。この章の形とは次のように対応する。

式 (5.1.32) は、式 (5.1.2) のトレースを $\hat H$ の固有基底で取ったものである。この章では、同じトレースを位置の基底で取って経路積分 (5.1.12) にした。固有値が分かる系では式 (5.1.32) が早く、固有値が分からない系（4次のポテンシャル、多体の系）では経路積分の方が近似や数値計算の出発点になる。

式 (5.1.33) の $h^{3N}$ は、5.1.3節で位置の基底のトレースの対角成分 $\langle q | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | q \rangle$ が $1/\lambda_T$ になり、それが $\int\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{-\beta p^2/2m}/h$ と一致することとして出た。升目の大きさは、虚時間 $\beta\hbar$ の拡散の幅と、運動量の熱的な広がりの積で決まる。$N!$ は 5.1.4節の対称化の射影の規格化で、恒等置換の項だけを残すと式 (5.1.33) に、残りの置換を足すと交換の補正 (5.1.25) になる。授業の式 (5.1.33) は、この章の言葉では「経路の幅を $0$ にし、入れ替えた経路を捨てた」近似である。

式 (5.1.34) は、1粒子の準位ごとに $\sum_{n_k}$ を取ると $(1\mp z\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _k})^{\mp1}$ になり、対数を取ると式 (5.1.23) と同じである。占有数で数える方法は、対称化した状態を「どの準位に何個」で指定するもので、置換の和を最初から済ませた数え方になっている。経路の言葉で同じ結果を出すと、長さ $l$ の輪の和がちょうど $\ln(1\mp z\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon })$ の Taylor 級数の第 $l$ 項に当たる。

振動子の平均エネルギーについて授業で習う Planck の式 $\langle E \rangle =\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{\hbar\omega}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}=\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}$ は、5.1.5節の量子の揺動散逸定理で揺らぎの大きさを決める因子として現れた。抵抗の熱雑音の量子補正（Nyquist の式の $k_{\mathrm B} T$ を $\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}$ に替えた式）も、この形の1つの例である。