当てる道具：$\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は虚時間の時間発展

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第1章 §5.1.2　★★★ $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は時刻 $t=-\mathrm{i}\beta\hbar$ の時間発展の演算子。トレースを取ると、$Z$ は周期 $\beta\hbar$ の閉じた経路の経路積分になる

時刻を虚数にする

第4部第2章で、時間発展の演算子を $\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ と書いた（第4部第2章）。ここに $t=-\mathrm{i}\tau$（$\tau$ は実数）を入れると

$$\hat U(-\mathrm{i}\tau)=\mathrm{e}^{-\tau\hat H/\hbar},\qquad \mathrm{e}^{-\beta\hat H}=\hat U(-\mathrm{i}\beta\hbar)\tag{5.1.8}$$

になる。カノニカル分布の重みは、虚数の時刻 $-\mathrm{i}\beta\hbar$ まで進めた時間発展そのものである。$\tau$ を虚時間と呼ぶ。規格化しない密度行列 $\hat\varrho(\tau)=\mathrm{e}^{-\tau\hat H/\hbar}$ は、Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\hat U=\hat H\hat U$ で $t=-\mathrm{i}\tau$ とおいた

$$\hbar\frac{\partial \hat\varrho}{\partial \tau}=-\hat H\hat\varrho,\qquad \hat\varrho(0)=1\tag{5.1.9}$$

に従う（Bloch 方程式）。自由粒子 $\hat H=\hat p^2/2m$ の位置表示では $\hbar\,\partial_\tau\varrho=(\hbar^2/2m)\,\partial_q^2\varrho$ で、これは拡散係数 $\hbar/(2m)$ の拡散方程式である。初期値 $\varrho(q',q;0)=\delta(q'-q)$ の解は Gauss 関数

$$\langle q' | \mathrm{e}^{-\tau\hat H/\hbar} | q \rangle =\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar\tau}}\,\exp\Bigl[-\frac{m(q'-q)^2}{2\hbar\tau}\Bigr]\tag{5.1.10}$$

で、虚時間 $\tau$ の間に幅 $\sqrt{\hbar\tau/m}$ だけ広がる。$\tau=\beta\hbar$ とおいて対角成分を取ると

$$\langle q | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | q \rangle =\frac{1}{\lambda_T},\qquad \lambda_T=\sqrt{\frac{2\pi\hbar^2\beta}{m}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{\mathrm B} T}}\tag{5.1.11}$$

となる。第3部第3章で定義した熱的波長 $\lambda_T$（古典の運動量の積分から出した。第3部第2章も同じ）が、ここでは虚時間 $\beta\hbar$ の拡散の幅として出る。長さ $L$ の箱で $Z_1=\int\mathrm{d} q\,\langle q | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | q \rangle =L/\lambda_T$ で、古典の $\frac1h\int\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{-\beta p^2/2m}$ と一致する。

分配関数の経路積分

ポテンシャルがあるときの $Z$ の経路積分表示は、第4部第8章の式 (4.8.29) で既に出ている（第4部第8章）。$\beta\hbar$ を $N$ 等分して位置の完全系を挟み、短い虚時間の核に式 (5.1.10) を使い、トレースとして $q_N=q_0$ とおいて $q_0$ についても積分する、という作り方はその章と同じなので繰り返さない。結果は

$$Z=\oint_{q(\beta\hbar)=q(0)}\mathcal Dq\;\mathrm{e}^{-I_{\mathrm E}[q]/\hbar},\qquad I_{\mathrm E}[q]=\int_0^{\beta\hbar}\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2+V(q)\Bigr]\mathrm{d}\tau\tag{5.1.12}$$

である。第4部第8章では Euclid 作用を $S_{\mathrm E}$ と書いた。この章は作用とエントロピーが同居するので、Euclid 作用を $I_{\mathrm E}$ と書く。測度 $\mathcal Dq$ は、刻み幅を $\epsilon=\beta\hbar/N$ として $\lim_{N\to\infty}(m/2\pi\hbar\epsilon)^{N/2}\int\prod_{k=0}^{N-1}\mathrm{d} q_k$ の意味である。

$I_{\mathrm E}$ をEuclid 作用と呼ぶ。実時間の作用 $S[q]=\int[\frac m2(\mathrm{d} q/\mathrm{d} t)^2-V]\,\mathrm{d} t$ に $t=-\mathrm{i}\tau$ を入れると、$\mathrm{d} t=-\mathrm{i}\,\mathrm{d}\tau$、$(\mathrm{d} q/\mathrm{d} t)^2=-(\mathrm{d} q/\mathrm{d}\tau)^2$ なので

$$\mathrm{i} S[q]=\mathrm{i}\int\Bigl[-\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} \tau}\Bigr)^2-V\Bigr](-\mathrm{i}\,\mathrm{d}\tau)=-I_{\mathrm E}[q]\tag{5.1.13}$$

で、実時間の重み $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ が虚時間の重み $\mathrm{e}^{-I_{\mathrm E}/\hbar}$ に替わる。運動エネルギーとポテンシャルの相対的な符号が反転し、$I_{\mathrm E}$ は下に有界な正の量になる。停留条件 $\delta I_{\mathrm E}=0$ の Euler–Lagrange 方程式は $m\,\mathrm{d}^2q/\mathrm{d}\tau^2=+V'(q)$ で、ポテンシャルを上下に裏返した中の運動になる。

経路積分 (5.1.12) で数えているのは、虚時間 $0$ から $\beta\hbar$ までに出発点へ戻る経路だけである（図 5.1.1 の左）。周期 $\beta\hbar$ の関数なので、Fourier 級数

$$q(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q_n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau},\qquad \omega_n=\frac{2\pi n}{\beta\hbar},\qquad q_{-n}=q_n^*\tag{5.1.14}$$

に展開できる。$\omega_n$ を Matsubara 角振動数と呼ぶ。$n=0$ の成分 $q_0=\frac{1}{\beta\hbar}\int_0^{\beta\hbar}q\,\mathrm{d}\tau$ は経路の重心で、$n\neq0$ の成分は重心のまわりの揺らぎである。高温では $\omega_1=2\pi k_{\mathrm B} T/\hbar$ が大きくなり、揺らぎの成分が抑えられて重心だけが残る。これを次の節で使う。

虚時間の Heisenberg 描像と、古典の場との対応

第4部第3章の Heisenberg 描像 $\hat A_{\mathrm H}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$（第4部第3章）でも $t=-\mathrm{i}\tau$ とおき、

$$\hat A(\tau)\coloneqq\mathrm{e}^{\tau\hat H/\hbar}\hat A\,\mathrm{e}^{-\tau\hat H/\hbar}\tag{5.1.15}$$

を虚時間の Heisenberg 演算子と呼ぶ。これを使うと、カノニカル分布での平均とトレースの巡回性を一度に扱える。$\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\hat A=\hat A(-\beta\hbar)\,\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ という並べ替えの規則が、5.1.5節の詳細つり合いの元になる。

第3部第10章では、古典の場 $m(\bm{r})$ の Ginzburg–Landau 汎関数 $F_{\mathrm L}[m]$ が $\mathrm{e}^{-\beta F_{\mathrm L}}$ の重みで現れ、それが Euclid 作用の重みと同じ形であることに触れた（第3部第10章。その章では Euclid 作用を $S_{\mathrm E}$ と書いた）。式 (5.1.12) はこの対応を量子力学の側から書いたもので、次の読み替えになる。

量子の系の温度は、この対応では虚時間の方向の箱の長さ $\beta\hbar$ に当たる。絶対零度は長さ無限大の箱である。第5部第11章のくりこみ群では、この読み替えで統計力学の臨界現象と場の量子論を同じ計算で扱う（第5部第11章）。第5部第12章では、ブラックホールの外側の時空を虚時間にしたとき、虚時間の周期が温度の逆数に決まることを使う（第5部第12章）。