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GKSL の構造定理：完全正値な半群の生成子

2026年10月15日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第14章 開放系：弱結合の Markov 極限（van Hove・Davies・Lindblad）
目次
  1. 量子力学的半群
  2. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第14章 §14.4　★★★ Markov の極限の答えが必ず Lindblad 形になる理由。生成子の形は完全正値性とトレースの保存だけで決まる

量子力学的半群

定義 14.5（量子力学的半群）

dd 次元の系の密度行列に作用する写像の族 {Φt}t≥0\{\Phi_t\}_{t\ge0} が、(a) 各 Φt\Phi_t が完全正値でトレースを保つ、(b) Φ0=id\Phi_0=\mathrm{id}、Φt+s=ΦtΦs\Phi_{t+s}=\Phi_t\Phi_s、(c) t↦Φtt\mapsto\Phi_t が連続、を満たすとき、量子力学的半群という。有限次元では Φt=etL\Phi_t=\mathrm{e}^{t\mathcal L} と書け、L=lim⁡t→0(Φt−id)/t\mathcal L=\lim_{t\to0}(\Phi_t-\mathrm{id})/t を生成子と呼ぶ。

完全正値性は、系に触れない別の系（補助系）を付け加えても正値性が保たれる、という条件である。補助系との量子もつれがありうる以上、物理的な時間発展はこれを満たさなければならない。写像 Φ\Phi を、Tr⁡(F^k†F^l)=δkl\operatorname{Tr}(\hat F_k^\dagger\hat F_l)=\delta_{kl} を満たす行列の基底 {F^k}k=0d2−1\{\hat F_k\}_{k=0}^{d^2-1}（F^0=1^/d\hat F_0=\hat 1/\sqrt d、ほかはトレースが 00）でΦ(ρ^)=∑k,lχklF^kρ^F^l†\Phi(\hat\rho)=\sum_{k,l}\chi_{kl}\hat F_k\hat\rho\hat F_l^\dagger と展開すると、Φ\Phi が完全正値であることと行列 χ\chi が半正定値であることは同値である（χ\chi は Choi 行列を基底で書き直したものにあたる。相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第1章）。

定理 14.6（GKSL（Gorini–Kossakowski–Sudarshan、Lindblad 1976） ★★★）

dd 次元の系の線形写像 L\mathcal L が量子力学的半群の生成子であるための必要十分条件は、自己共役な H^\hat H と、トレースが 00 の正規直交な基底 {F^k}k=1d2−1\{\hat F_k\}_{k=1}^{d^2-1} についての半正定値なエルミート行列 c=(ckl)c=(c_{kl}) があって

Lρ^=−iℏ[H^, ρ^]+∑k,l=1d2−1ckl(F^kρ^F^l†−12{F^l†F^k,ρ^}+)(14.17)\mathcal L\hat\rho=-\frac{\mathrm{i}}\hbar\left[\hat H,\,\hat\rho\right]+\sum_{k,l=1}^{d^2-1}c_{kl}\Bigl(\hat F_k\hat\rho\hat F_l^\dagger-\frac12\bigl\{\hat F_l^\dagger\hat F_k,\hat\rho\bigr\}_{+}\Bigr)\tag{14.17}

と書けることである。cc を対角化すると、演算子 L^j\hat L_j を使った Lindblad 形

Lρ^=−iℏ[H^, ρ^]+∑j(L^jρ^L^j†−12{L^j†L^j,ρ^}+)(14.18)\mathcal L\hat\rho=-\frac{\mathrm{i}}\hbar\left[\hat H,\,\hat\rho\right]+\sum_j\Bigl(\hat L_j\hat\rho\hat L_j^\dagger-\frac12\bigl\{\hat L_j^\dagger\hat L_j,\hat\rho\bigr\}_{+}\Bigr)\tag{14.18}

になる。

有限次元のこの形は V. Gorini、A. Kossakowski、E. C. G. Sudarshan（J. Math. Phys. 17, 821 (1976)）が、無限次元の Hilbert 空間で生成子が有界な（ノルムで連続な）半群について同じ形をG. Lindblad（Commun. Math. Phys. 48, 119 (1976)）が示した（書誌は二次文献 Chruściński, Pascazio (2017), Open Syst. Inf. Dyn. 24, 1740001 で照合）。生成子が有界でない一般の場合の特徴づけは、今も完全には知られていない。

証明（有限次元）

十分性。(14.18) の L\mathcal L を L=G+J\mathcal L=\mathcal G+\mathcal J、Jρ^=∑jL^jρ^L^j†\mathcal J\hat\rho=\sum_j\hat L_j\hat\rho\hat L_j^\dagger、Gρ^=G^ρ^+ρ^G^†\mathcal G\hat\rho=\hat G\hat\rho+\hat\rho\hat G^\dagger、G^=−iℏH^−12∑jL^j†L^j\hat G=-\frac{\mathrm{i}}\hbar\hat H-\frac12\sum_j\hat L_j^\dagger\hat L_j と分ける。etGρ^=etG^ρ^etG^†\mathrm{e}^{t\mathcal G}\hat\rho=\mathrm{e}^{t\hat G}\hat\rho\mathrm{e}^{t\hat G^\dagger} は1つの演算子で挟む写像なので完全正値、J\mathcal J も Kraus 形なので完全正値である。Duhamel の公式（第8章で使った定数変化法）を繰り返すと

etL=∑n≥0∫0≤s1≤⋯≤sn≤te(t−sn)GJe(sn−sn−1)GJ⋯Jes1G ds1⋯dsn\mathrm{e}^{t\mathcal L}=\sum_{n\ge0}\int_{0\le s_1\le\cdots\le s_n\le t}\mathrm{e}^{(t-s_n)\mathcal G}\mathcal J\mathrm{e}^{(s_n-s_{n-1})\mathcal G}\mathcal J\cdots\mathcal J\mathrm{e}^{s_1\mathcal G}\,\mathrm{d} s_1\cdots\mathrm{d} s_n

となる。第 nn 項は完全正値な写像の合成の、正の重みでの積分なので完全正値で、ノルムは (t∥J∥)net∥G∥/n!(t\lVert \mathcal J\rVert )^n\mathrm{e}^{t\lVert \mathcal G\rVert }/n! で押さえられ、級数は収束する。したがって etL\mathrm{e}^{t\mathcal L} は完全正値である。トレースは、Tr⁡(L^ρ^L^†)=Tr⁡(L^†L^ρ^)\operatorname{Tr}(\hat L\hat\rho\hat L^\dagger)=\operatorname{Tr}(\hat L^\dagger\hat L\hat\rho) から Tr⁡Lρ^=0\operatorname{Tr}\mathcal L\hat\rho=0 となって保たれる。

必要性（骨格）。Φt(ρ^)=∑k,l=0d2−1χkl(t)F^kρ^F^l†\Phi_t(\hat\rho)=\sum_{k,l=0}^{d^2-1}\chi_{kl}(t)\hat F_k\hat\rho\hat F_l^\dagger と展開する。Φ0=id\Phi_0=\mathrm{id} は χ00(0)=d\chi_{00}(0)=d で、ほかの成分は 00 である。Φt\Phi_t が完全正値なので χ(t)\chi(t) は半正定値で、その k,l≥1k,l\ge1 の部分（主小行列）も半正定値である。t→0t\to0 で ckl=lim⁡χkl(t)/tc_{kl}=\lim\chi_{kl}(t)/t（k,l≥1k,l\ge1）は半正定値な行列の極限で半正定値になる。k=0k=0 または l=0l=0 の成分は ρ^\hat\rho に片側から演算子をかける項 X^ρ^+ρ^X^†\hat X\hat\rho+\hat\rho\hat X^\dagger にまとまり、X^\hat X の反エルミートの部分が −iℏH^-\frac{\mathrm{i}}\hbar\hat H、エルミートの部分がトレースの保存 Tr⁡Lρ^=0\operatorname{Tr}\mathcal L\hat\rho=0 から −12∑cklF^l†F^k-\frac12\sum c_{kl}\hat F_l^\dagger\hat F_k と決まる。これで (14.17) を得る。

定理の要点は、生成子の「散逸の部分」が半正定値な行列 cc で決まり、その正値性が完全正値性と同値なことである。14.2 節の Redfield 方程式はこの cc が負の固有値を持つ例で、14.3 節の Davies の生成子は cc が各 Bohr 周波数ごとに γ(ω)≥0\gamma(\omega)\ge0 の対角になる例である。

GKSL の定理が言うこと・言わないこと

定理が述べるのは「半群で、完全正値なら Lindblad 形」という構造であり、ある物理系がどの L^j\hat L_j と速さを持つかは何も述べない。それを決めるのが Davies の定理のような極限の定理である。また、半群であること（時間に依らない生成子を持つこと）は仮定であって、帰結ではない。14.6 節の強結合の例のように、半群でない縮約ダイナミクスは定理の外にある。

例題 14.4　2準位の Lindblad 方程式と T2≤2T1T_2\le2T_1 ★★★

オリジナル2準位 H^=ℏω02σz\hat H=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z に、L^1=γ↓ σ−\hat L_1=\sqrt{\gamma_\downarrow}\,\sigma_-、L^2=γ↑ σ+\hat L_2=\sqrt{\gamma_\uparrow}\,\sigma_+、L^3=γϕ/2 σz\hat L_3=\sqrt{\gamma_\phi/2}\,\sigma_z（γ↓,γ↑,γϕ≥0\gamma_\downarrow,\gamma_\uparrow,\gamma_\phi\ge0）の Lindblad 方程式を考える。

  • (1) ⟨σz⟩\langle \sigma_z \rangle と ρeg=⟨e∣ρ^∣g⟩\rho_{eg}=\langle e | \hat\rho | g \rangle の方程式を導き、縦緩和の時間 T1T_1 と横緩和の時間 T2T_2 を求めよ。
  • (2) T2≤2T1T_2\le2T_1 を示し、等号が成り立つ条件を述べよ。この不等式が GKSL の定理の何に当たるかを説明せよ。
  • (3) γ↑/γ↓=e−βℏω0\gamma_\uparrow/\gamma_\downarrow=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0} のとき、定常状態の ⟨σz⟩\langle \sigma_z \rangle を求め、命題 14.4 と比べよ。
解答

(1) σ±\sigma_\pm の散逸の項は ∣e⟩| e \rangle と ∣g⟩| g \rangle の占有を γ↓\gamma_\downarrow と γ↑\gamma_\uparrow の速さで入れ替え、σz\sigma_z の項は占有を変えない。したがって

d⟨σz⟩dt=−(γ↓+γ↑)⟨σz⟩+(γ↑−γ↓),T1=1γ↓+γ↑.\frac{\mathrm{d} \langle \sigma_z \rangle }{\mathrm{d} t}=-(\gamma_\downarrow+\gamma_\uparrow)\langle \sigma_z \rangle +(\gamma_\uparrow-\gamma_\downarrow),\qquad T_1=\frac{1}{\gamma_\downarrow+\gamma_\uparrow}.

非対角成分は、σ−\sigma_- の項で γ↓2\frac{\gamma_\downarrow}{2}、σ+\sigma_+ の項で γ↑2\frac{\gamma_\uparrow}{2}、σz\sigma_z の項で γϕ2(σzρ^σz−ρ^)\frac{\gamma_\phi}{2}(\sigma_z\hat\rho\sigma_z-\hat\rho) から γϕ\gamma_\phi の速さで減り、dρegdt=−iω0ρeg−1T2ρeg\frac{\mathrm{d} \rho_{eg}}{\mathrm{d} t}=-\mathrm{i}\omega_0\rho_{eg}-\frac{1}{T_2}\rho_{eg}、1T2=γ↓+γ↑2+γϕ\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{\gamma_\downarrow+\gamma_\uparrow}{2}+\gamma_\phi。生成子の固有値の実部が {0,1/T1,1/T2,1/T2}\{0,1/T_1,1/T_2,1/T_2\} になることを数値でも確かめた。

(2) 1T2=12T1+γϕ≥12T1\frac1{T_2}=\frac{1}{2T_1}+\gamma_\phi\ge\frac{1}{2T_1} なので T2≤2T1T_2\le2T_1。等号は γϕ=0\gamma_\phi=0（純粋な位相緩和がない）のときである。不等式は γϕ≥0\gamma_\phi\ge0、すなわち Kossakowski 行列の σz\sigma_z の対角成分が負でないことから出ている。γϕ<0\gamma_\phi<0 にすると T2>2T1T_2>2T_1 にできるが、その生成子の半群は完全正値にならない。光 Bloch 方程式（光学と量子エレクトロニクス 第19章）の T1T_1・T2T_2 を勝手に選べないのは、この構造のためである。

(3) 定常状態では ⟨σz⟩=γ↑−γ↓γ↑+γ↓=e−βℏω0−1e−βℏω0+1=−tanh⁡βℏω02\langle \sigma_z \rangle =\frac{\gamma_\uparrow-\gamma_\downarrow}{\gamma_\uparrow+\gamma_\downarrow}=\frac{\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}-1}{\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}+1}=-\tanh\frac{\beta\hbar\omega_0}{2}、ρeg=0\rho_{eg}=0 で、これは e−βH^/Z\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z の値である。γϕ\gamma_\phi は定常状態に影響しない。σ−\sigma_- と σ+\sigma_+ の項は Davies の生成子の ω=±ω0\omega=\pm\omega_0 の項、σz\sigma_z の項は ω=0\omega=0 の項にあたり、命題 14.4 の主張どおり Gibbs 状態が止まる（検算スクリプト）。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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