限界：強結合・低温・非 Markov・singular coupling limit

近似の数理　第14章 §14.6　★★ Davies の定理の外で何が起きるか。情報の逆流・低温での長い相関時間・近い Bohr 周波数・別の極限

強結合と情報の逆流

結合が強く $\Gamma\tau_{\mathrm B}$ が $1$ に近いと、縮約した時間発展は半群から外れるだけでなく、「分割可能性」も失う。各時刻の $\Phi_t$ が $\Phi_t=\Phi_{t,s}\Phi_s$（$t\ge s$）と完全正値な $\Phi_{t,s}$ で分けられるとき、時間発展はCP 分割可能であるという。半群はもちろん、時間に依存する GKSL 形の生成子を持つ時間発展もこれに含まれる。CP 分割可能なら、2つの状態の跡距離 $\frac12\lVert \Phi_t\hat\rho_1-\Phi_t\hat\rho_2\rVert _1$ は完全正値な写像で増えない（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第1章のデータ処理不等式）ので、時間について単調に減る。したがって跡距離がある時刻から増えれば、それは CP 分割可能でない証拠で、系から浴へ出た区別のための情報が系へ戻ってきたことを表す。この見方による非 Markov 性の判定は、H.-P. Breuer、E.-M. Laine、J. Piilo、B. Vacchini の総説（Rev. Mod. Phys. 88, 021002 (2016)）と、Á. Rivas、S. F. Huelga、M. B. Plenio の総説（Rep. Prog. Phys. 77, 094001 (2014)）にまとめられている（どちらも書誌を二次文献で照合）。

図 14.3　強結合（$\Gamma\tau_{\mathrm B}=2$）の Lorentz 型の浴での上の準位の振幅。$t=2.418\tau_{\mathrm B}$ で $0$ を横切り、符号を変えて大きさが回復する。跡距離 $\lvert c\rvert ^2$ は $t=3.628\tau_{\mathrm B}$ で $0.0266$ まで戻る。

低温と相関時間

熱浴の相関関数には、浴そのものの時間 $1/\omega_{\mathrm c}$ のほかに、温度で決まる時間 $\hbar\beta=\hbar/ k_{\mathrm B} T$ が現れる。KMS 条件で虚時間の方向に周期 $\hbar\beta$ を持つことから、低温ほど相関関数の減衰はゆっくりになり、温度 $0$ では指数関数でなくべきで減る（例：$\mathcal J\propto\omega$ の Ohm 型の浴では $u^{-2}$）。Davies の極限の小さいパラメータは「緩和の速さ × 相関時間」なので、低温では $\Gamma\ll k_{\mathrm B} T/\hbar$ という条件が加わり、温度を下げると同じ結合でも Markov の近似が悪くなる。

もう1つ、Davies の定常状態は系だけの Gibbs 状態 $\mathrm{e}^{-\beta\hat H_S}/Z_S$ だが、有限の結合の真の平衡は全体の Gibbs 状態の部分トレース $\operatorname{Tr}_B\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ で、両者は $\lambda^2$ の次数で違う。低温で $k_{\mathrm B} T$ が結合のエネルギーに近づくと、この違いは無視できない。前に挙げた Merkli（2020）の結果は、正しい相互作用のある平衡に近づく半群を与える点でもこの問題に答えている（二次文献による）。

近い Bohr 周波数

永年近似で落とす項は、周期 $2\pi/\lvert \omega-\omega'\rvert$ で振動する。2つの Bohr 周波数の差が緩和の速さと同じ程度に小さい（多準位の原子の微細構造、弱く結合した2つの量子ビットなど）と、$\lambda$ を固定した現実の系では、この項を平均で消すことができない。定理 14.3 は $\lambda\to0$ の極限なので、差が有限であれば最後には成り立つが、与えられた $\lambda$ でどちらの近似が良いかは別の問題である。A. Trushechkin は、近い周波数の組の項だけを残し、GKSL 形と熱力学的な性質を保つ「部分的な永年近似」を提案した（Trushechkin (2021), Phys. Rev. A 103, 062226。二次文献で照合）。

singular coupling limit とそのほかの方法

van Hove の極限とは別に、浴の相関時間を $0$ に送る極限がある。$\hat H=\hat H_S+\varepsilon ^{-2}\hat H_B+\varepsilon ^{-1}\hat H_I$ のように浴の時間を速め、結合を強めて $\varepsilon \to0$ とすると、相関関数は $\delta(u)$ に近づき（白色雑音）、$\gamma(\omega)$ は $\omega$ によらない定数になる。V. Gorini と A. Kossakowski は、この singular coupling limit でも縮約した時間発展が完全正値な半群に近づくことを論じた（Gorini, Kossakowski (1976), J. Math. Phys. 17, 1298。二次文献で照合。Hamiltonian の尺度のとり方の細部は要確認）。極限の生成子には永年近似が要らないが、$\gamma(\omega)=\gamma(-\omega)$ なので KMS の比 $\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}$ が $1$、すなわち無限大の温度に当たり、定常状態は一般に Gibbs 状態にならない。量子光学の強いレーザー雑音のように、浴の帯域が系のすべての周波数より広い状況のための極限である。

Davies の極限の外を計算する方法としては、射影の方程式 (14.6) を時間局所な形に直して $\lambda$ で展開する方法（時間たたみ込みのない形、TCL）、浴の相関関数を指数関数の和で表して補助の自由度の階層方程式に直す方法（谷村・久保（1989）の階層型運動方程式）、浴の一部を系に取り込んでから Markov の極限をとる方法がある。いずれも、極限の定理でなく、別の部分空間を選び直す A 型の操作として読める。