物理の例：自然放出と Einstein の A 係数、量子回帰定理

近似の数理　第14章 §14.5　★★★ 2準位原子と真空の電磁場に Davies の定理を当てはめると A 係数と光 Bloch 方程式の緩和が出る。前提の可積分性は高い周波数の切断で満たされる。量子回帰定理は別の主張

2準位原子の Davies 生成子

2準位原子 $\hat H_S=\hbar\omega_0\sigma_+\sigma_-$ を、体積 $V$ の箱で量子化した電磁場に双極子相互作用 $-\hat{\bm{d}}\cdot\hat{\bm{E}}$ で結合させる（光学と量子エレクトロニクス 第34章）。双極子の行列要素を実数にとって $\hat{\bm{d}}=\bm{d}_{eg}(\sigma_++\sigma_-)$ と書くと、(14.1) の形で $\hat A=\sigma_x$、$\hat B=-\bm{d}_{eg}\cdot\hat{\bm{E}}$ で、Bohr 周波数は $\pm\omega_0$、$\hat A(\omega_0)=\sigma_-$、$\hat A(-\omega_0)=\sigma_+$ である。場の各モードとの結合を $\hbar g_{\bm{k}s}=\sqrt{\hbar\omega_k/(2\varepsilon_0V)}\,(\bm{d}_{eg}\cdot\bm{e}_{\bm{k}s})$ とおき、

$$\mathcal J(\omega)=\sum_{\bm{k},s}\lvert g_{\bm{k}s}\rvert ^2\delta(\omega-\omega_k)=\frac{\omega}{2\varepsilon_0\hbar V}\cdot\frac{V\omega^2}{2\pi^2c^3}\cdot\frac23d_{eg}^2=\frac{\omega^3d_{eg}^2}{6\pi^2\varepsilon_0\hbar c^3}$$

を得る（2つ目の因子は1つの偏光あたりのモードの密度、$\frac23d_{eg}^2$ は2つの偏光と向きについての $\lvert \bm{d}_{eg}\cdot\bm{e}\rvert ^2$ の和の平均）。温度 $T$ の場では (14.10) の速さが

$$\gamma(\omega_0)=\Gamma\bigl(n_{\mathrm B}(\omega_0)+1\bigr),\qquad \gamma(-\omega_0)=\Gamma n_{\mathrm B}(\omega_0),\qquad \Gamma=2\pi\mathcal J(\omega_0)=\frac{\omega_0^3d_{eg}^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}\tag{14.19}$$

となり（$\lambda$ は $d_{eg}$ に含めた）、Davies の生成子 (14.14) は例題 14.4 で $\gamma_\downarrow=\Gamma(n_{\mathrm B}+1)$、$\gamma_\uparrow=\Gamma n_{\mathrm B}$、$\gamma_\phi=0$ とおいたものになる。比 $\gamma(-\omega_0)/\gamma(\omega_0)=n_{\mathrm B}/(n_{\mathrm B}+1)=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}$ は (14.16) そのものである。

ここで2つのことが同時に出ている。第一に、$\hat A=\sigma_x$ には $\sigma_+\hat b^\dagger$ のような回転しない項が含まれるが、永年近似で $\hat A(\omega)\hat\rho\hat A(\omega')^\dagger$（$\omega\ne\omega'$）を落とすので、結合を最初から回転波近似で書いた場合と同じ生成子になる。原子と連続体の結合での回転波近似は、van Hove の極限の中に含まれている。第二に、温度 $0$ の速さ $\Gamma$ は自然放出の Einstein の A 係数 $A_{21}$ で、温度 $T$ での吸収の速さ $\Gamma n_{\mathrm B}$ を、角周波数あたりのエネルギー密度$u(\omega)=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}n_{\mathrm B}(\omega)$ を使って $B_{12}u(\omega_0)$ と書くと、

$$A_{21}=\frac{\hbar\omega_0^3}{\pi^2c^3}B_{21},\qquad B_{12}=B_{21}=\frac{\pi d_{eg}^2}{3\varepsilon_0\hbar^2}\tag{14.20}$$

が出る（光学と量子エレクトロニクス 第20章の流儀。準位の縮退はない場合）。Einstein が熱平衡から要請した関係は、KMS の浴に対する Davies の生成子の性質として導かれる。

Davies の前提は満たされるか

温度 $0$ の相関関数は $C(u)=\hbar^2\int_0^\infty\mathcal J(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega u}\mathrm{d}\omega$ である。$\mathcal J\propto\omega^3$ のままではこの積分は発散し、相関関数そのものが定義されない。双極子近似は波長が原子の大きさ（$a_0$ の程度）より長いことを仮定しており、$\omega\gtrsim c/a_0$ の高い周波数では結合が $\omega^3$ より弱くなる。これを $\mathcal J(\omega)\propto\omega^3\mathrm{e}^{-\omega/\omega_{\mathrm c}}$ の切断で表すと

$$\int_0^\infty\omega^3\mathrm{e}^{-\omega/\omega_{\mathrm c}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega u}\mathrm{d}\omega=\frac{6}{(\omega_{\mathrm c}^{-1}+\mathrm{i} u)^4}$$

で、絶対値は $u^{-4}$ で減衰し、時間について可積分である。相関時間は $\tau_{\mathrm B}\sim1/\omega_{\mathrm c}$ で、Davies の定理の前提 (iii) はこの切断のもとで満たされる。定理の結論は切断の細部によらない $\Gamma=2\pi\mathcal J(\omega_0)$ を与えるが、Lamb のずれ $S(\omega_0)$ は主値積分で $\omega_{\mathrm c}$ に依存し、非相対論的な扱いの範囲を超える（ここでは計算しない）。

量子回帰定理

光の相関関数 $g^{(1)}$・$g^{(2)}$（光学と量子エレクトロニクス 第32章）には、2つの時刻の系の相関関数 $\langle \hat X(t+\tau)\hat Y(t) \rangle$ が要る。量子回帰定理は、これを1時刻の生成子で

$$\langle \hat X(t+\tau)\hat Y(t) \rangle =\operatorname{Tr}\Bigl[\hat X\,\mathrm{e}^{\tau\mathcal L}\bigl(\hat Y\hat\rho_S(t)\bigr)\Bigr]\tag{14.21}$$

と計算してよい、と主張する。これは1時刻の Markov 性（$\hat\rho_S(t)=\mathrm{e}^{t\mathcal L}\hat\rho_S(0)$）とは別の主張である。左辺は時刻 $t$ で系に $\hat Y$ を作用させた後の、系と浴を合わせた時間発展を含み、時刻 $t$ に系と浴の間にできた相関を引き継ぐ。右辺はその相関を捨て、時刻 $t$ で浴を $\hat\rho_B$ に戻したのと同じことをしている。G. Lindblad は、時間発展が半群であることだけからは多時刻の相関の Markov 性は出ないことを指摘した（Lindblad (1979), Commun. Math. Phys. 65, 281。二次文献で照合）。(14.21) が弱結合の極限で正しくなること（多時刻の相関関数の収束）は R. Dümcke が扱った（Dümcke (1983), J. Math. Phys. 24, 311）が、本書は原論文の前提を確かめていない。