出てくるもの (2)：等号の条件・有限の速さの損失・悪魔の帳尻

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第4章 §4.4.5　★★ 等号は「フィードバックの直後の分布が、新しい Hamiltonian の平衡分布に一致する」とき。有限の段数では損失が段数に反比例する。測定で得た情報の代償は記録の側で払う

等号の条件

定理 4.4.4 の等号は、$D(P[\Gamma,y]\,\|\,\tilde P[\tilde\Gamma,y])=0$、すなわちすべての経路と結果について $P[\Gamma,y]=\tilde P[\tilde\Gamma,y]$ のときに限って成り立つ。前向きの過程を結果 $y$ で条件づけると、測定の直後の分布は事後分布 $p_{X|y}$ である。逆回しの過程の終わり（前向きの時刻 $0$ の直後にあたる）の分布がこれと一致しなければ、2つの経路の確率は等しくなりえない。一般には、逆回しの過程は手順 $\Lambda_y$ のどの瞬間も平衡のまま進む準静的な操作でなければならず、さらにその出発点では、フィードバックの直後の Hamiltonian の Gibbs 分布が事後分布 $p_{X|y}$ に一致していなければならない。Szilard エンジンでは、「仕切りの位置 $q_y$ で分けた一様分布 ＝ 事後分布」が定理 4.4.2 の最適条件 $q_y=p_{X|y}$ だった。可逆なフィードバックとは、測った直後に、事後分布を平衡分布とする Hamiltonian へすばやく切り替え、その後を準静的に戻す操作である。

有限の段数で戻す模型

準静的でない操作の損失を、厳密に計算できる模型で調べる。系は2状態 $x\in\{\mathrm L,\mathrm R\}$ で、初めのエネルギーはどちらも $0$（平衡分布は $(1/2,1/2)$）とする。反転確率 $\varepsilon$ で測り、結果 $y$ を得たら、エネルギーを $E_y(x)=- k_{\mathrm B} T\ln q_y(x)$ にすばやく切り替える（Gibbs 分布が $q_y$ になる）。その後、$K$ 段に分けて$E^{(k)}=(1-k/K)E_y$ と $0$ へ戻す。各段では、まず今のエネルギーの Gibbs 分布へ完全に緩和させ、それからエネルギーを次の値へすばやく変える。最後のエネルギーは $0$ なので、1回の操作で元に戻り $\Delta F=0$ である。

1回ごとの仕事は、切り替えの $E_y(x_0)$ と、各段の変化 $-E_y(x_k)/K$（$x_k$ は $k$ 段目の緩和の後の状態）の和である。$x_k$ は $E^{(k-1)}$ の Gibbs 分布から独立に出るので、平均も $\langle \mathrm{e}^{-\beta W-I} \rangle$ も各段の和と積に分かれて厳密に計算できる。各段の因子が分配関数の比 $Z^{(k)}/Z^{(k-1)}$ になって掛け合わせると打ち消し合うので、どの $K$ でもどの $q_y$ でも $\langle \mathrm{e}^{-\beta W-I} \rangle =1$ になる。一方、取り出す仕事の平均 $-\beta\langle W \rangle$ は $K$ によって変わる。$q_y$ を事後分布にとり、$\varepsilon =0.1$ で計算した値を図 4.4.3 に示す。

図 4.4.3　事後分布を Gibbs 分布とするエネルギーへ切り替え、$K$ 段で戻す2状態の模型（$\varepsilon =0.1$）。取り出す仕事の平均は $K=1$ で $0$、$K$ を増やすと上限 $I(X;Y)$ へ近づき、残りは約 $0.439/K$ である。どの $K$ でも一般化 Jarzynski 等式は厳密に成り立つ。

$K=1$ では、切り替えの直後に完全に緩和させてから一気に $0$ へ戻すので、$-\beta\langle W \rangle =\langle \ln q_y(x_0) \rangle -\langle \ln q_y(x_1) \rangle$ で、$x_0$ も $x_1$ も条件つきで $q_y$ に従うから $0$ になる。測定で得た情報は、緩和の間にすべて熱浴へ捨てられている。$K$ を増やすと、各段の緩和で捨てる自由エネルギーは段の変化の2乗に比例して小さくなり、$K$ 段の和は $1/K$ に比例する。係数は $\frac12\int_0^1\mathrm{Var}_\lambda(\beta E_y)\,\mathrm{d}\lambda=0.439$ で（$\mathrm{Var}_\lambda$ はエネルギー $\lambda E_y$ の Gibbs 分布での分散）、図の値と合う。この係数は、パラメータの道のりに沿ってエネルギーの揺らぎを積分したもので、第4部第6章 の速度限界の話につながる。

悪魔の帳尻

式 (4.4.15) は、系だけを見れば第二法則が $k_{\mathrm B} T\,I$ だけ破れてよいと言っている。破れの分はどこで帳尻が合うのか。測定の結果 $y$ は、測定器の記憶（メモリー）に記録されている。測定の直後、系とメモリーは相互情報量 $I(X;Y)$ だけ相関しており、フィードバックの操作では、この相関を使って系から仕事を取り出し、その間に相関は失われる。操作の後に残るのは、$y$ を書き込んだままのメモリーである。Szilard エンジンを繰り返し回すには、メモリーを初めの状態に戻す（消去する）必要がある。

C. H. Bennett（Int. J. Theor. Phys. 21, 905 (1982)）は、測定は原理的に仕事なしで行うことができ、代償は記録の消去にあると論じた。消去の代償の下限は R. Landauer（IBM J. Res. Dev. 5, 183 (1961)）の原理で、記録のエントロピー $H(Y)$ の消去には少なくとも $k_{\mathrm B} T\,H(Y)$ の仕事が要る（対称なメモリーの場合）。$H(Y)\ge I(X;Y)$ なので、測定・フィードバック・消去を1周すると取り出せる正味の仕事は $k_{\mathrm B} T\bigl[I(X;Y)-H(Y)\bigr]=- k_{\mathrm B} T\,H(Y\,|\,X)\le0$ 以下で、系とメモリーを合わせた全体では Kelvin の原理が破れることはない。ただし、測定と消去のどちらにどれだけ代償を割り振るかはメモリーの作り方によって変わり、一般には「測定の仕事と消去の仕事の和が $k_{\mathrm B} T\,I(X;Y)$ 以上」という形で述べるのが正確である。この配分を経路の $D$ で書くことは次の章第4部第5章 の主題である。