出てくるもの（1）：アイコナール方程式は Hamilton–Jacobi 方程式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第10章 §2.10.3　★★★ 波面を決める光路長の関数 $\mathcal S(\bm{r})$ が満たす $\lvert \nabla\mathcal S\rvert ^2=n^2$ は光線の $H$ の Hamilton–Jacobi 方程式。波の方程式から $\lambda_0\to0$ の極限で出る

光路長を終点の関数として見る

点光源（または1つの波面）を出て点 $\bm{r}$ に達する光線に沿った光路長を、終点 $\bm{r}$ の関数とみて $\mathcal S(\bm{r})$ と書く。第1部第13章で、真の経路に沿った作用を終点の関数とみなすと Hamilton–Jacobi 方程式の解になり、その終点微分が運動量になることを示した。いまの作用は光路長なので、同じ計算（端を動かした第1変分の端の項）から

$$\nabla\mathcal S(\bm{r})=\bm{p}=n(\bm{r})\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} s}\tag{2.10.11}$$

を得る。光線の向きの単位ベクトル $\mathrm{d}\bm{r}/\mathrm{d} s$ は大きさ $1$ なので

$$\lvert \nabla\mathcal S(\bm{r})\rvert ^2=n(\bm{r})^2\tag{2.10.12}$$

が成り立つ。これをアイコナール方程式、$\mathcal S$ をアイコナールと呼ぶ（作用 $S[q]$・主関数 $S(q,t)$ と区別するため筆記体で書く）。$\mathcal S=\text{一定}$ の面は、光源から同じ光路長（同じ到達時間）の点の集まりで、これが波面である。式 (2.10.11) から光線は波面に直交する。

証明

式 (2.10.8) を入れると (2.10.13) は $\partial_z\mathcal S=\sqrt{n^2-(\partial_x\mathcal S)^2-(\partial_y\mathcal S)^2}$ で、両辺を2乗して移項すると $\lvert \nabla\mathcal S\rvert ^2=n^2$。逆に $\lvert \nabla\mathcal S\rvert ^2=n^2$ と $\partial_z\mathcal S>0$ から根号の正の枝が選ばれ、(2.10.13) に戻る。

光線の Hamiltonian は時刻 $z$ を陽に含みうるが、光路長には $\mathcal S(x,y,z)$ という形で $z$ が座標として入るので、第1部の $S(q,t)$ の $t$ が $\mathcal S$ の第3の座標 $z$ に当たる。屈折率が時間によらないので、第1部の「時間の分離 $S=W(q)-Et$」は不要で、アイコナールは最初から時間に依らない形をしている。式 (2.10.12) は、第1部第13章の時間に依らない Hamilton–Jacobi 方程式 $\lvert \nabla W\rvert ^2=2m(E-V)$ の $2m(E-V)$ を $n^2$ に置き換えた形で、表 2.10.1 の対応が成り立つ。

波の方程式からアイコナールへ

Fermat の原理の理由を、波の方程式から確かめる。光は、第2部第6章で作用から出した Maxwell 方程式に従う電磁波で、第2部第9章で求めた双極子の放射も、源から十分に離れると局所的には平面波の形をとる。屈折率 $n$ の媒質では、各成分が速さ $c/n$ の波の方程式に従う。振動数 $\omega$ の単色の光の場の1成分を $\operatorname{Re}[u(\bm{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ と書き、屈折率が波長に比べてゆっくり変わる媒質では、$u$ が Helmholtz 方程式

$$\nabla^2u+k_0^2n(\bm{r})^2u=0,\qquad k_0=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda_0}\tag{2.10.14}$$

に従うとする（偏光の向きの変化は屈折率の勾配と同じ程度の小さな補正なので、ここでは1成分で書く）。$u=a(\bm{r})\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_0\mathcal S(\bm{r})}$（$a$, $\mathcal S$ は実数）と置いて代入すると

$$\nabla^2u=\Bigl[-k_0^2\lvert \nabla\mathcal S\rvert ^2a+\mathrm{i} k_0\bigl(2\nabla a\cdot\nabla\mathcal S+a\nabla^2\mathcal S\bigr)+\nabla^2a\Bigr]\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_0\mathcal S}$$

なので、式 (2.10.14) の実部と虚部は

$$\lvert \nabla\mathcal S\rvert ^2=n^2+\frac{1}{k_0^2}\frac{\nabla^2a}{a},\qquad \nabla\cdot\bigl(a^2\nabla\mathcal S\bigr)=0\tag{2.10.15}$$

になる（虚部に $a$ を掛けると $2a\nabla a\cdot\nabla\mathcal S+a^2\nabla^2\mathcal S=\nabla\cdot(a^2\nabla\mathcal S)$）。ここまでは近似を含まない。第1式の右辺の第2項は、$a$ が変化する長さを $\ell_a$ とすると $(\lambda_0/\ell_a)^2$ の程度で、$\lambda_0\to0$ で落とせばアイコナール方程式 (2.10.12) になる。第2式は、光の強さ $a^2$ が $\nabla\mathcal S$ の向き（光線の向き）に流れて保存することを表す。これは 第1部第13章で Schrödinger 方程式に $\psi=A\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を入れて得た量子 Hamilton–Jacobi 方程式と連続の式と、$\hbar\leftrightarrow1/k_0$ の置き換えで同じ形である。

光が点 $\bm{r}_1$ から $\bm{r}_2$ へ届く振幅は、途中のいろいろな経路を通る波の重ね合わせで、各経路の位相は $k_0\ell$ である。$k_0$ が大きいと、$\ell$ が経路の変化とともに変わる所では位相が速く回って打ち消し合い、$\ell$ が停留する経路の近くの寄与だけが残る（停留位相）。これが Fermat の原理の波の側からの理由で、第4部第8章の経路積分で作用が停留する経路だけが古典極限に残ることと同じ仕組みである（第4部第8章）。

光線どうしが交わって包絡線（火線、コースティック）をつくる所では、1点に2本以上の光線が届き、$\mathcal S$ が1価でなくなり、振幅 $a$ が発散する。そこでは $\nabla^2a/a$ の項を落とせず、幾何光学は使えない。