出てくるもの（2）：近軸光線と ABCD 行列はシンプレクティック

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第10章 §2.10.4　★★★ 光軸の近くでは光線の $H$ が2次式になり、伝搬・屈折・レンズが行列式 $1$ の $2\times2$ 行列（線形正準変換）で書ける。屈折率が放物型の媒質は調和振動子

近軸の Hamiltonian

光学系が $z$ 軸（光軸）のまわりに回転対称で、光線が光軸の近くを光軸に近い向きに進むとき、$x$ と $p_x$ を小さいとして $H$ を展開する。この節では $xz$ 面内の光線だけを扱い、$p=p_x$ と書く。式 (2.10.8) は

$$H=-\sqrt{n^2-p^2}=-n+\frac{p^2}{2n}+\mathcal{O}(p^4)\tag{2.10.16}$$

で、さらに屈折率を $n(x,z)=n_0(z)-\frac12n_2(z)x^2+\mathcal{O}(x^4)$ と展開すると（回転対称なので $x$ の1次の項は無い）、2次までで

$$H\approx-n_0+\frac{p^2}{2n_0}+\frac{n_2}{2}x^2\tag{2.10.17}$$

となる。定数 $-n_0$ は光線の形に影響しない（位相 $k_0\mathcal S$ には全体として入る）。$p=n\sin\theta\approx n\theta$（$\theta$ は光線が光軸となす角）なので、$p$ は「屈折率を掛けた角」である。$H$ が $(x,p)$ の2次式なので Hamilton 方程式は線形で、$z_1$ から $z_2$ までの流れは $2\times2$ 行列で書ける：

$$\begin{pmatrix}x_2\\p_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\mathbb{C}&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\p_1\end{pmatrix}.\tag{2.10.18}$$

これが ABCD 行列（光線行列）である。

基本の3つの行列

一様な媒質の中を距離 $d$ 進む。 $n_2=0$ なので $x'=p/n$, $p'=0$ で

$$T(d)=\begin{pmatrix}1&d/n\\0&1\end{pmatrix}.\tag{2.10.19}$$

自由粒子の流れ（質量 $n$）と同じ形である。

平らな境界面で屈折する。 境界面に沿った並進対称性から $p=n\sin\theta$ が連続（式 (2.10.10)）で、位置も連続なので、行列は単位行列である。角 $\theta$ そのものは $n_1\theta_1=n_2\theta_2$ で変わるが、$(x,p)$ は変わらない。

曲率半径 $R$ の球面で屈折する。 球面の中心が光の進む側にあるとき $R>0$ とする。高さ $x$ の点で球面の法線は光軸に対して $x/R$ だけ傾いているので、法線から測った入射角は $\theta_1+x/R$、屈折角は $\theta_2+x/R$ である。Snell の法則の近軸形 $n_1(\theta_1+x/R)=n_2(\theta_2+x/R)$ から $p_2=p_1-(n_2-n_1)x/R$ で、

$$\begin{pmatrix}1&0\\-(n_2-n_1)/R&1\end{pmatrix}.\tag{2.10.20}$$

厚さの無視できるレンズ（薄いレンズ）は、曲率半径 $R_1$, $R_2$ の2つの球面を続けて通るので、行列の積は

$$\Lambda(f)=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix},\qquad\frac1f=(n-1)\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr)\tag{2.10.21}$$

となる（両側を空気 $n=1$ とした。$\Lambda$ はこの章だけの記号で、ゲージ関数とは関係しない）。レンズは位置を変えずに運動量だけを位置に比例して変える。力学でいえば、短い時間だけ働く撃力 $-x/f$ である。

行列式が $1$ であること

証明

$z$ の流れは時刻に依存してよい Hamiltonian の流れなので正準変換であり（第1部第12章）、1自由度の正準変換の Jacobi 行列の行列式は Poisson 括弧 $\{x_2,p_2\}=1$ に等しい。線形の流れでは Jacobi 行列が ABCD 行列そのものなので $AD-BC=1$。境界面での跳びは、行列 (2.10.20) を見ればそのまま行列式 $1$ である。行列の積の行列式は行列式の積なので、系全体でも $1$ になる。

光軸のまわりに回転対称でない系や、$x$ と $y$ が混ざる系では、$(x,y,p_x,p_y)$ の $4\times4$ 行列 $M$ が $M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J$ を満たす（第1部第12章のシンプレクティック条件）。$2\times2$ では、この条件は行列式が $1$ であることと同値である。

屈折率が放物型の媒質

屈折率が $n(x)^2=n_0^2(1-\alpha^2x^2)$（$\alpha>0$）の媒質（屈折率分布型、GRIN と呼ぶ）では、$n\approx n_0(1-\alpha^2x^2/2)$ で、式 (2.10.17) は

$$H\approx-n_0+\frac{p^2}{2n_0}+\frac{n_0\alpha^2}{2}x^2\tag{2.10.22}$$

になる。質量 $n_0$、角振動数 $\alpha$ の調和振動子で、光線は $x=x_{\max}\sin(\alpha z)$ のように光軸のまわりを振動し、周期 $2\pi/\alpha$ ごとに元の位置と向きに戻る。

近軸の展開をせずに式 (2.10.6) で厳密に解くこともできる。$\mathrm{d}^2x/\mathrm{d}\sigma^2=-n_0^2\alpha^2x$、$\mathrm{d} z/\mathrm{d}\sigma=p_z$（一定）なので、光軸を通る光線は$x=x_{\max}\sin(n_0\alpha\sigma)$, $z=p_z\sigma$ で、引き返す点 $x=x_{\max}$ では $p=0$ なので $p_z=n(x_{\max})=n_0\sqrt{1-\alpha^2x_{\max}^2}$ である。したがって

$$x(z)=x_{\max}\sin\Bigl(\frac{\alpha z}{\sqrt{1-\alpha^2x_{\max}^2}}\Bigr),\qquad\text{周期}\ \frac{2\pi}{\alpha}\sqrt{1-\alpha^2x_{\max}^2}\tag{2.10.23}$$

で、振幅の大きい光線ほど周期が短い。近軸の周期 $2\pi/\alpha$ は $\alpha x_{\max}\to0$ の極限である（図 2.10.2）。周期が振幅によることは、光軸から離れた光線が1点に集まらないこと（収差）の1つの姿である。