出てくるもの（3）：エタンデュが増えないのは Liouville の定理

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第10章 §2.10.5　★★★ 光線の相空間 $(x,y,p_x,p_y)$ の体積はエタンデュ $n^2\cos\theta\,\mathrm{d} A\,\mathrm{d}\Omega$ で、光学系を通しても変わらない。集光の上限と明るさの保存がそこから出る

相空間の体積

$z$ を時刻とみた光線の流れ $(x,y,p_x,p_y)_{z_1}\mapsto(x,y,p_x,p_y)_{z_2}$ は、Hamiltonian (2.10.8) が $z$ を含んでいても正準変換で、第1部第12章で示した Liouville の定理により、相空間の体積

$$\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d} p_x\,\mathrm{d} p_y\tag{2.10.24}$$

を保つ。ここで使ったのは Hamilton 方程式の形だけで、近軸近似は使っていない。収差のある系でも体積は保たれ、相空間の中の領域の形が変わるだけである。

光線の向きを、光軸からの角 $\theta$ と方位角 $\varphi$ で $\mathrm{d}\bm{r}/\mathrm{d} s=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ と書くと $p_x=n\sin\theta\cos\varphi$, $p_y=n\sin\theta\sin\varphi$ で、Jacobi 行列式を計算すると $\mathrm{d} p_x\,\mathrm{d} p_y=n^2\sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=n^2\cos\theta\,\mathrm{d}\Omega$（$\mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ は立体角の要素）になる。したがって

$$\mathrm{d}\mathcal G\coloneqq n^2\cos\theta\,\mathrm{d} A\,\mathrm{d}\Omega=\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d} p_x\,\mathrm{d} p_y\tag{2.10.25}$$

は光線の束に沿って変わらない。$\mathrm{d}\mathcal G$ をエタンデュ（光の束の「広がり」）と呼ぶ。面積 $\mathrm{d} A$ と立体角 $\mathrm{d}\Omega$ を同時に小さくすることはできず、光の束を小さな面積に絞れば角の広がりが増え、平行に近づければ面積が増える。

明るさの保存と集光の上限

光の束が運ぶ放射のパワーを $\mathrm{d} P=L_{\mathrm e}\cos\theta\,\mathrm{d} A\,\mathrm{d}\Omega$ と書いたときの $L_{\mathrm e}$ を放射輝度（単位 $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}}$、「明るさ」）と呼ぶ。吸収も反射の損失もない光学系では $\mathrm{d} P$ が光線の束に沿って保存し、式 (2.10.25) から $\cos\theta\,\mathrm{d} A\,\mathrm{d}\Omega\propto1/n^2$ なので

$$\frac{L_{\mathrm e}}{n^2}=\text{一定}\tag{2.10.26}$$

になる。レンズや鏡をどう組み合わせても、同じ屈折率の媒質の中で物体より明るい像は作れない。

太陽の光を集める場合に当てはめる。地球から見た太陽の角半径を $\theta_{\mathrm s}$ とすると、面積 $A_{\mathrm{in}}$ の入口に入る光のエタンデュは、$\theta\le\theta_{\mathrm s}$ の円錐について$\int\cos\theta\,\mathrm{d}\Omega=\pi\sin^2\theta_{\mathrm s}$ なので $\mathcal G_{\mathrm{in}}=\pi\sin^2\theta_{\mathrm s}A_{\mathrm{in}}$ である。屈折率 $n$ の中に置いた面積 $A_{\mathrm{out}}$ の受光面が受け取れるエタンデュは、半球全体（$\theta\le\pi/2$）でも $\pi n^2A_{\mathrm{out}}$ を超えない。エタンデュが増えないので

$$\frac{A_{\mathrm{in}}}{A_{\mathrm{out}}}\le\frac{n^2}{\sin^2\theta_{\mathrm s}}\tag{2.10.27}$$

が集光の倍率の上限になる。上限に達した受光面は、半球のすべての方向から太陽の表面と同じ明るさの光を受けるので、太陽の表面の温度より熱くはならない。集光の上限は、熱力学の第二法則と矛盾しないための条件にもなっている。