授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第10章 §2.10.6　★★ Snell の法則・反射の法則・レンズの公式・レンズメーカーの式・Lagrange–Helmholtz の不変量・Huygens の原理を、この章の式と並べる

式の対応

解析力学を使わない光学の授業では、Huygens の原理か Fermat の原理から反射と屈折の法則を出し、球面での屈折を1面ずつ作図して薄いレンズの公式と倍率を求め、近軸の光線を高さ $y$ と角 $u$ の組で表す光線行列を導入する、という順に進むことが多い。この章ではそれぞれが次の所から出た。

光線行列の変数の選び方

授業の光線行列は、光線の高さ $y$ と光軸からの角 $u$（$\approx\theta$）を変数にとることが多い。この章の $(x,p)=(y,nu)$ との違いは運動量に屈折率が掛かるかどうかだけで、入口の屈折率 $n_1$、出口の屈折率 $n_2$ の系の行列の関係は

$$\begin{pmatrix}A_{yu}&B_{yu}\\mathbb{C}_{yu}&D_{yu}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1/n_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\mathbb{C}&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&n_1\end{pmatrix},\qquad A_{yu}D_{yu}-B_{yu}C_{yu}=\frac{n_1}{n_2}\tag{2.10.28}$$

である。$(y,u)$ は正準変数の組になっていないので、行列式が $1$ にならない。入口と出口がどちらも空気なら2つの書き方は一致する。

物体の高さ $y$、そこから出る光線の角 $u$、像の高さ $y'$、像に集まる光線の角 $u'$ の間には、授業で Lagrange–Helmholtz の不変量として習う関係

$$n\,y\,u=n'\,y'\,u'\tag{2.10.29}$$

が成り立つ。結像では $B=0$ なので $y'=Ay$、$p'=Dp=p/A$（$AD=1$）で、$n'u'y'=(nu/A)(Ay)=nuy$ となる。物体側で幅 $y$・角の幅 $u$ の束が占める相空間の面積が、像の側で保たれていることの言い換えである。