解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部 第10章 §2.10.2 ★★★ 光線の方程式 d d s ( n d r d s ) = ∇ n \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}(n\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} s})=\nabla n d s d ( n d s d r ) = ∇ n H = − n 2 − p x 2 − p y 2 H=-\sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2} H = − n 2 − p x 2 − p y 2
光線の方程式
径数を任意にとった形 (2.10.3) で、Lagrangian L λ = n ( r ) ∣ r ˙ ∣ L_\lambda=n(\bm{r})\lvert \dot{\bm{r}}\rvert L λ = n ( r ) ∣ r ˙ ∣ λ \lambda λ 第1部第4章 ）を当てる。∂ L λ / ∂ r ˙ = n r ˙ / ∣ r ˙ ∣ \partial L_\lambda/\partial\dot{\bm{r}}=n\,\dot{\bm{r}}/\lvert \dot{\bm{r}}\rvert ∂ L λ / ∂ r ˙ = n r ˙ / ∣ r ˙ ∣ ∂ L λ / ∂ r = ∣ r ˙ ∣ ∇ n \partial L_\lambda/\partial\bm{r}=\lvert \dot{\bm{r}}\rvert \,\nabla n ∂ L λ / ∂ r = ∣ r ˙ ∣ ∇ n
d d λ ( n r ˙ ∣ r ˙ ∣ ) = ∣ r ˙ ∣ ∇ n . \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \lambda}\Bigl(n\frac{\dot{\bm{r}}}{\lvert \dot{\bm{r}}\rvert }\Bigr)=\lvert \dot{\bm{r}}\rvert \,\nabla n . d λ d ( n ∣ r ˙ ∣ r ˙ ) = ∣ r ˙ ∣ ∇ n .
径数を長さ s s s ∣ r ˙ ∣ = 1 \lvert \dot{\bm{r}}\rvert =1 ∣ r ˙ ∣ = 1
命題 2.10.2（光線の方程式 ★★★）
Fermat の原理 (2.10.2) を満たす光線 r ( s ) \bm{r}(s) r ( s )
d d s ( n ( r ) d r d s ) = ∇ n ( r ) (2.10.5) \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}\Bigl(n(\bm{r})\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} s}\Bigr)=\nabla n(\bm{r})\tag{2.10.5} d s d ( n ( r ) d s d r ) = ∇ n ( r ) ( 2.10.5 )
を満たす。径数を d σ = d s / n \mathrm{d}\sigma=\mathrm{d} s/n d σ = d s / n σ \sigma σ
d 2 r d σ 2 = ∇ ( n 2 2 ) (2.10.6) \frac{\mathrm{d}^2\bm{r}}{\mathrm{d}\sigma^2}=\nabla\Bigl(\frac{n^2}{2}\Bigr)\tag{2.10.6} d σ 2 d 2 r = ∇ ( 2 n 2 ) ( 2.10.6 )
と書ける。
証明 式 (2.10.5) は上で導いた。d / d σ = n d / d s \mathrm{d}/\mathrm{d}\sigma=n\,\mathrm{d}/\mathrm{d} s d / d σ = n d / d s d r / d σ = n d r / d s \mathrm{d}\bm{r}/\mathrm{d}\sigma=n\,\mathrm{d}\bm{r}/\mathrm{d} s d r / d σ = n d r / d s σ \sigma σ n d d s ( n d r / d s ) = n ∇ n = ∇ ( n 2 / 2 ) n\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}(n\,\mathrm{d}\bm{r}/\mathrm{d} s)=n\nabla n=\nabla(n^2/2) n d s d ( n d r / d s ) = n ∇ n = ∇ ( n 2 /2 )
式 (2.10.6) は、質量 1 1 1 − n 2 / 2 -n^2/2 − n 2 /2 ∇ n = 0 \nabla n=0 ∇ n = 0
光線の Hamiltonian
z z z (2.10.4) に戻る。正準運動量は
p x = ∂ L ∂ x ′ = n x ′ 1 + x ′ 2 + y ′ 2 = n d x d s , p y = ∂ L ∂ y ′ = n d y d s (2.10.7) p_x=\frac{\partial L}{\partial x'}=\frac{n\,x'}{\sqrt{1+x'^2+y'^2}}=n\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} s},\qquad p_y=\frac{\partial L}{\partial y'}=n\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} s}\tag{2.10.7} p x = ∂ x ′ ∂ L = 1 + x ′2 + y ′2 n x ′ = n d s d x , p y = ∂ y ′ ∂ L = n d s d y ( 2.10.7 )
である。d x / d s \mathrm{d} x/\mathrm{d} s d x / d s x x x ( p x , p y ) (p_x,p_y) ( p x , p y ) x x x p x 2 + p y 2 = n 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 ) / ( 1 + x ′ 2 + y ′ 2 ) < n 2 p_x^2+p_y^2=n^2(x'^2+y'^2)/(1+x'^2+y'^2)<n^2 p x 2 + p y 2 = n 2 ( x ′2 + y ′2 ) / ( 1 + x ′2 + y ′2 ) < n 2 n n n
L L L ( x ′ , y ′ ) (x',y') ( x ′ , y ′ ) n > 0 n>0 n > 0 第1部第7章 ）ができる。式 (2.10.7) から 1 + x ′ 2 + y ′ 2 = n 2 / ( n 2 − p x 2 − p y 2 ) 1+x'^2+y'^2=n^2/(n^2-p_x^2-p_y^2) 1 + x ′2 + y ′2 = n 2 / ( n 2 − p x 2 − p y 2 )
H ( x , y , p x , p y ; z ) = p x x ′ + p y y ′ − L = − n 1 + x ′ 2 + y ′ 2 = − n ( x , y , z ) 2 − p x 2 − p y 2 (2.10.8) H(x,y,p_x,p_y;z)=p_xx'+p_yy'-L=-\frac{n}{\sqrt{1+x'^2+y'^2}}=-\sqrt{n(x,y,z)^2-p_x^2-p_y^2}\tag{2.10.8} H ( x , y , p x , p y ; z ) = p x x ′ + p y y ′ − L = − 1 + x ′2 + y ′2 n = − n ( x , y , z ) 2 − p x 2 − p y 2 ( 2.10.8 )
となる。− H = n d z / d s -H=n\,\mathrm{d} z/\mathrm{d} s − H = n d z / d s z z z n n n p z p_z p z p = ( p x , p y , p z ) = n d r / d s \bm{p}=(p_x,p_y,p_z)=n\,\mathrm{d}\bm{r}/\mathrm{d} s p = ( p x , p y , p z ) = n d r / d s n n n ∣ p ∣ = n \lvert \bm{p}\rvert =n ∣ p ∣ = n p z p_z p z
命題 2.10.3（光線の Hamilton 方程式 ★★★）
光線の Hamilton 方程式
x ′ = ∂ H ∂ p x = p x n 2 − p x 2 − p y 2 , p x ′ = − ∂ H ∂ x = n ∂ x n n 2 − p x 2 − p y 2 (2.10.9) x'=\frac{\partial H}{\partial p_x}=\frac{p_x}{\sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2}},\qquad
p_x'=-\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{n\,\partial_xn}{\sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2}}\tag{2.10.9} x ′ = ∂ p x ∂ H = n 2 − p x 2 − p y 2 p x , p x ′ = − ∂ x ∂ H = n 2 − p x 2 − p y 2 n ∂ x n ( 2.10.9 )
（y y y (2.10.5) の x x x y y y
証明 n 2 − p x 2 − p y 2 = n d z / d s \sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2}=n\,\mathrm{d} z/\mathrm{d} s n 2 − p x 2 − p y 2 = n d z / d s x ′ = ( n d x / d s ) / ( n d z / d s ) x'=(n\,\mathrm{d} x/\mathrm{d} s)/(n\,\mathrm{d} z/\mathrm{d} s) x ′ = ( n d x / d s ) / ( n d z / d s ) (2.10.7) の定義と矛盾しない。2番目の式の右辺は ∂ x n ⋅ d s / d z \partial_xn\cdot\mathrm{d} s/\mathrm{d} z ∂ x n ⋅ d s / d z d z / d s \mathrm{d} z/\mathrm{d} s d z / d s d p x / d s = ∂ x n \mathrm{d} p_x/\mathrm{d} s=\partial_xn d p x / d s = ∂ x n (2.10.5) の x x x
Noether の定理と Snell の法則
屈折率が y y y H H H y y y y y y p y = n d y / d s p_y=n\,\mathrm{d} y/\mathrm{d} s p y = n d y / d s 第1部第10章 ）。屈折率が z z z H H H z z z H = − p z = − n d z / d s H=-p_z=-n\,\mathrm{d} z/\mathrm{d} s H = − p z = − n d z / d s
屈折率が x x x n ( x ) n(x) n ( x ) x x x y y y z z z x z xz x z x x x θ \theta θ p z = n sin θ p_z=n\sin\theta p z = n sin θ
n ( x ) sin θ ( x ) = 一定 . (2.10.10) n(x)\sin\theta(x)=\text{一定}.\tag{2.10.10} n ( x ) sin θ ( x ) = 一定 . ( 2.10.10 )
屈折率が面 x = 0 x=0 x = 0 n 1 n_1 n 1 n 2 n_2 n 2 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (2.10.10) のほうが一般で、層の中で屈折率が連続に変わっても成り立つ。第1部第4章 の式 (1.4.20) では、同じ式を光路長の L L L x x x sin θ ≤ 1 \sin\theta\le1 sin θ ≤ 1 n ( x ) n(x) n ( x ) p z p_z p z x x x
例題 2.10.2 熱い道路の上の蜃気楼 ★★
オリジナル 晴れた日の道路の上で、空気の屈折率が高さ y y y n ( y ) 2 = n g 2 + G y n(y)^2=n_{\mathrm g}^2+Gy n ( y ) 2 = n g 2 + G y G > 0 G>0 G > 0 n g = 1.000250 n_{\mathrm g}=1.000250 n g = 1.000250 h = 1.5 m h=1.5\,\mathrm m h = 1.5 m n 1 = 1.000280 n_1=1.000280 n 1 = 1.000280 h h h θ 0 \theta_0 θ 0 x x x
(1) 光線が路面に達する前に引き返す条件を、式 (2.10.10) を使って θ 0 \theta_0 θ 0 θ c \theta_{\mathrm c} θ c (2) 式 (2.10.6) を使って光線の形を求めよ。θ 0 = θ c \theta_0=\theta_{\mathrm c} θ 0 = θ c x ∗ x_* x ∗
解答 (1) 屈折率は y y y x x x p x = n cos θ p_x=n\cos\theta p x = n cos θ θ \theta θ p x = n 1 cos θ 0 p_x=n_1\cos\theta_0 p x = n 1 cos θ 0 y y y n ( y ) ≥ p x n(y)\ge p_x n ( y ) ≥ p x n 1 cos θ 0 > n g n_1\cos\theta_0>n_{\mathrm g} n 1 cos θ 0 > n g θ 0 < θ c = arccos ( n g / n 1 ) \theta_0<\theta_{\mathrm c}=\arccos(n_{\mathrm g}/n_1) θ 0 < θ c = arccos ( n g / n 1 ) θ c = 7.74 × 10 − 3 r a d = 0.444 ∘ \theta_{\mathrm c}=7.74\times10^{-3}\,\mathrm{rad}=0.444^\circ θ c = 7.74 × 1 0 − 3 rad = 0.44 4 ∘ θ c ≈ 2 ( n 1 − n g ) / n 1 \theta_{\mathrm c}\approx\sqrt{2(n_1-n_{\mathrm g})/n_1} θ c ≈ 2 ( n 1 − n g ) / n 1
(2) 式 (2.10.6) で d 2 x / d σ 2 = 0 \mathrm{d}^2x/\mathrm{d}\sigma^2=0 d 2 x / d σ 2 = 0 d 2 y / d σ 2 = G / 2 \mathrm{d}^2y/\mathrm{d}\sigma^2=G/2 d 2 y / d σ 2 = G /2 x = p x σ x=p_x\sigma x = p x σ y = h + p y 0 σ + G σ 2 / 4 y=h+p_{y0}\sigma+G\sigma^2/4 y = h + p y 0 σ + G σ 2 /4 p y 0 = − n 1 sin θ 0 p_{y0}=-n_1\sin\theta_0 p y 0 = − n 1 sin θ 0 σ \sigma σ
y = h + p y 0 p x x + G 4 p x 2 x 2 . y=h+\frac{p_{y0}}{p_x}x+\frac{G}{4p_x^2}x^2 . y = h + p x p y 0 x + 4 p x 2 G x 2 .
頂点（最も低い点）は x ∗ = − 2 p y 0 p x / G x_*=-2p_{y0}p_x/G x ∗ = − 2 p y 0 p x / G θ 0 = θ c \theta_0=\theta_{\mathrm c} θ 0 = θ c p x = n g p_x=n_{\mathrm g} p x = n g p y 0 2 = n 1 2 − n g 2 = G h p_{y0}^2=n_1^2-n_{\mathrm g}^2=Gh p y 0 2 = n 1 2 − n g 2 = G h x ∗ = 2 n g h / G x_*=2n_{\mathrm g}\sqrt{h/G} x ∗ = 2 n g h / G G = ( n 1 2 − n g 2 ) / h = 4.00 × 10 − 5 m − 1 G=(n_1^2-n_{\mathrm g}^2)/h=4.00\times10^{-5}\,\mathrm m^{-1} G = ( n 1 2 − n g 2 ) / h = 4.00 × 1 0 − 5 m − 1 x ∗ ≈ 387 m x_*\approx387\,\mathrm m x ∗ ≈ 387 m 1.5 m 1.5\,\mathrm m 1.5 m
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
