この章のまとめ

(1) 式 (2.10.22) の Hamilton 方程式は $x'=p/n_0$, $p'=-n_0\alpha^2x$ で、調和振動子の流れなので

$$M(z)=\begin{pmatrix}\cos\alpha z&\dfrac{\sin\alpha z}{n_0\alpha}\\[1ex]-n_0\alpha\sin\alpha z&\cos\alpha z\end{pmatrix},\qquad\det M=\cos^2\alpha z+\sin^2\alpha z=1 .$$

$z=\pi/(2\alpha)$ では $M=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1/(n_0\alpha)\\-n_0\alpha&0\end{smallmatrix}\bigr)$ で、$p_1=0$（平行な光の束）なら $x_2=0$ になり、高さによらずすべての光線が出口の光軸上の1点に集まる。出口の面に焦点のあるレンズとして働き、$p_2=-n_0\alpha x_1$ から焦点距離に当たる量は $1/(n_0\alpha)$（$-1/C$）である。

(2) 近軸の周期は $2\pi/\alpha=6.283\,\mathrm{mm}$。厳密には $\alpha x_{\max}=0.2$ なので $2\pi\sqrt{1-0.04}/\alpha=6.156\,\mathrm{mm}$ で、約 $2\%$ 短い。光軸での運動量は厳密な解で $p=\mathrm{d} x/\mathrm{d}\sigma=n_0\alpha x_{\max}=0.30$ で、$\sin\theta_0=0.30/1.5=0.20$、$\theta_0=0.201\,\mathrm{rad}$（$11.5^\circ$）。

(3) 近軸では $x=x_{\max}\sin\alpha z$, $p=n_0x'=n_0\alpha x_{\max}\cos\alpha z$ で、相空間の軌道は半軸 $x_{\max}$ と $n_0\alpha x_{\max}$ の楕円である。$\oint p\,\mathrm{d} x$ は楕円の面積 $\pi\,x_{\max}\cdot n_0\alpha x_{\max}$ なので $J=n_0\alpha x_{\max}^2/2$（$H$ から定数 $-n_0$ を除いた値 $E$ を使えば $J=E/\alpha$ とも書ける）。はじめは $J=1.5\times1.0\times0.2^2/2=0.030\,\mathrm{mm}$。$\alpha$ を変える長さが周期 $2\pi/\alpha$ よりずっと長ければ $J$ は断熱不変量で保たれるので、$x_{\max}\propto\alpha^{-1/2}$、$p_{\max}=n_0\alpha x_{\max}\propto\alpha^{1/2}$。$\alpha$ が $\frac14$ 倍になると $x_{\max}=0.40\,\mathrm{mm}$、$p_{\max}=0.30\times\frac12=0.15$。光の束は太くなり、角の広がりは半分になる。

(4) 楕円の面積は $\pi x_{\max}p_{\max}=\pi n_0\alpha x_{\max}^2=2\pi J$。はじめ $\pi\times0.2\times0.30=0.06\pi$、出口で $\pi\times0.40\times0.15=0.06\pi\,\mathrm{mm}$ で等しい。相空間の面積の保存（Liouville の定理）はゆっくり変える必要のない厳密な性質で、断熱不変量は「1本の光線の楕円が、形を変えながらも別の楕円に移る」ことを加えて主張している。同じ面積の楕円の中で太さと角の広がりを交換したのが (3) の結果である。

(5) $k_0=2\pi/\lambda_0=6283\,\mathrm{mm^{-1}}$ なので $k_0J=6283\times0.030=188.5$、$m+\frac12=188.5$ から $m\approx188$。Hamiltonian の値は $H=-n_0+\alpha J=-n_0+(m+\frac12)\alpha/k_0$（調和振動子の $E=\alpha J$）で、時間発展の位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Ht/\hbar}$ の $t\to z$, $\hbar\to1/k_0$ が $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_0Hz}$ なので、位相は $z$ について

$$\beta_m=-k_0H=k_0n_0-\Bigl(m+\frac12\Bigr)\alpha$$

の割合で増える。隣り合う $m$ の差は $\alpha=1.0\,\mathrm{mm^{-1}}$ で、どの $m$ の波も $z$ が $2\pi/\alpha$ 進むごとに位相の差が $2\pi$ の整数倍に戻る。近軸の光線が周期 $2\pi/\alpha$ で同じ形に戻ることの、波の側の言い換えである。