出てくるもの3：Hamiltonian 密度とエネルギーの流れ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第5章 §2.5.5　★★ 各点で Legendre 変換すると $\pi(\bm{x})$ と $\mathcal H$ ができる。$\{\phi(\bm{x}),\pi(\bm{y})\}=\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ が場の量子化の出発点

正準運動量の密度と Hamiltonian 密度

粒子では $p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$ を定義し、速度について Legendre 変換して $H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ を作った（第1部第8章）。場では一般化座標の番号 $i$ が空間の点 $\bm{x}$ に変わったので、各点で同じことをする。

$\pi$ は、$L$ を「番号 $\bm{x}$ の速度 $\partial_t\phi(\bm{x})$」で汎関数微分したもの $\frac{\delta L}{\delta(\partial_t\phi(\bm{x}))}$ に等しい。$\sum_ip_i\dot q_i$ の和が積分に変わって $\int\pi\,\partial_t\phi\,\mathrm{d}^3x$ になるので、$H=\int\pi\,\partial_t\phi\,\mathrm{d}^3x-L$ は粒子の式そのものである。

弦では $\pi=\rho\,\partial_t\phi$ で、

$$\mathcal H=\frac{\pi^2}{2\rho}+\frac Y2(\partial_x\phi)^2\tag{2.5.23}$$

となる。運動エネルギーの密度と位置エネルギーの密度の和で、例題 2.5.1 のエネルギー密度 $\mathcal E$ と一致する。

場の Hamilton 方程式と Poisson 括弧

Hamilton 方程式は、偏微分を汎関数微分に置き換えて

$$\partial_t\phi(t,\bm{x})=\frac{\delta H}{\delta\pi(\bm{x})},\qquad \partial_t\pi(t,\bm{x})=-\frac{\delta H}{\delta\phi(\bm{x})}\tag{2.5.24}$$

になる。弦なら $\frac{\delta H}{\delta\pi}=\pi/\rho$、$\frac{\delta H}{\delta\phi}=-Y\partial_x^2\phi$（例題 2.5.2 の計算）だから、$\partial_t\phi=\pi/\rho$ と $\partial_t\pi=Y\partial_x^2\phi$ で、2つを合わせると波動方程式 (2.5.15) に戻る。2つの汎関数 $F[\phi,\pi]$、$G[\phi,\pi]$ の Poisson 括弧は

$$\{F,G\}=\int\mathrm{d}^3x\,\Bigl(\frac{\delta F}{\delta\phi(\bm{x})}\frac{\delta G}{\delta\pi(\bm{x})}-\frac{\delta F}{\delta\pi(\bm{x})}\frac{\delta G}{\delta\phi(\bm{x})}\Bigr)\tag{2.5.25}$$

で定める（$\sum_i$ が $\int\mathrm{d}^3x$ に変わっただけである）。$F=\phi(\bm{y})$、$G=\pi(\bm{z})$ と置き、式 (2.5.9) を使うと

$$\{\phi(\bm{y}),\pi(\bm{z})\}=\int\mathrm{d}^3x\;\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})\,\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{z})=\delta^{(3)}(\bm{y}-\bm{z})\tag{2.5.26}$$

を得る。粒子の $\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$ の場の版で、場の量子化（第5部第2章）はこの括弧を交換子 $[\cdot,\cdot]/(\mathrm{i}\hbar)$ に置き換えるところから始まる。

Schrödinger 場 (2.5.18) では $\pi_\psi=\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\psi)}=\mathrm{i}\hbar\,\psi^*$ で、正準運動量が新しい量でなく $\psi^*$ そのものになる。$\mathcal L$ が時間微分について1次なので、Legendre 変換で速度を消す必要がなく、$\psi$ と $\mathrm{i}\hbar\psi^*$ がはじめから正準変数の組になっている。$\mathcal H=\pi_\psi\partial_t\psi-\mathcal L=\frac{\hbar^2}{2m}\lvert \nabla\psi\rvert ^2+V\lvert \psi\rvert ^2$ は、量子力学のエネルギーの期待値の被積分関数である。

エネルギーの保存と流れ

$\mathcal L$ が $t$ を陽に含まないとき、弦のエネルギー $H=\int_0^\ell\mathcal H\,\mathrm{d} x$ の時間変化を計算する。波動方程式を使うと

$$\partial_t\mathcal H+\partial_x\mathcal S=0,\qquad \mathcal S=-Y\,\partial_x\phi\,\partial_t\phi\tag{2.5.27}$$

が成り立つ（左辺を展開すると $\partial_t\phi\,(\rho\,\partial_t^2\phi-Y\partial_x^2\phi)$ になる）。これを $x$ で積分すると

$$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=-\bigl[\mathcal S\bigr]_{0}^{\ell}=Y\partial_x\phi\,\partial_t\phi\Big|_{x=\ell}-Y\partial_x\phi\,\partial_t\phi\Big|_{x=0} .\tag{2.5.28}$$

固定端では $\partial_t\phi=0$、自由端では $\partial_x\phi=0$ だから、どちらの端でも右辺は $0$ で、$H$ は保存する。式 (2.5.27) は「エネルギー密度の増える速さ＝流れ込むエネルギーの流れ」という局所的な保存則で、$\mathcal S$ はエネルギーの流れ（単位時間に点 $x$ を右へ通過するエネルギー）である。電磁場ではこれが Poynting ベクトルになる。$\mathcal L$ の時間並進の不変性から $\mathcal H$ と $\mathcal S$ を一般に作る手続きが場の Noether の定理で、次の次の章（第2部第7章）でエネルギー運動量テンソルとしてまとめる。