出てくるもの1：場の Euler–Lagrange 方程式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第5章 §2.5.3　★★★ 作用の停留は各点ごとの偏微分方程式になる。$\mathcal L$ を選べば波動・Klein–Gordon・Schrödinger の方程式が出る

定理と証明

証明

$\mathcal L$ の引数 $\phi$・$\partial_t\phi$・$\partial_i\phi$ を独立な変数とみなして $\epsilon$ で微分し、式 (2.5.7) を使うと

$$\delta S=\epsilon\int_{\mathcal R}\Bigl[\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}\,\eta+\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}\,\partial_t\eta+\sum_i\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_i\phi)}\,\partial_i\eta\Bigr]\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x .$$

第2項と第3項に式 (2.5.11) を使って $\eta$ の微分を外すと

$$\delta S=\epsilon\int_{\mathcal R}\Bigl[\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}-\partial_t\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}-\sum_i\partial_i\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_i\phi)}\Bigr]\eta\;\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x +\epsilon\oint_{\partial\mathcal R}\Bigl[\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}N_t+\sum_i\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_i\phi)}N_i\Bigr]\eta\;\mathrm{d}\Sigma .\tag{2.5.14}$$

境界で $\eta=0$ なら第2項は消える。残る第1項がすべての $\eta$ について $0$ になることは、変分法の基本補題（第1部第3章）を4変数の関数に使えば、角括弧が内部の各点で $0$ であることと同値である。これが式 (2.5.12) である。

共変形へは次のように書き直す。$x^0=ct$ なので $\partial_0\phi=\frac1c\partial_t\phi$ で、$\mathcal L$ を $\partial_0\phi$ の関数とみると$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_0\phi)}=c\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}$。よって $\partial_0\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_0\phi)}=\frac1c\partial_t\Bigl(c\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}\Bigr)=\partial_t\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}$ となり、$\mu=1,2,3$ の項は空間の和そのものだから、式 (2.5.12) と (2.5.13) は同じ式である。

式 (2.5.12) の $\partial_t$ と $\partial_i$ は、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}$ などに解 $\phi(t,\bm{x})$ を代入して得られる $t,\bm{x}$ の関数を、もう一度 $t$ や $x$ で偏微分する操作である。粒子の Euler–Lagrange 方程式の $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}$ が「経路に沿った全微分」だったのと同じで、$\phi$ を通して入る依存も全部微分する。このため、粒子の Euler–Lagrange 方程式が時間の2階常微分方程式だったのに対して、場の方程式は時間と空間の2階偏微分方程式になる。

場が複数あるとき（$\phi_1,\dots,\phi_N$）は、それぞれを独立にずらせるので、各 $\phi_a$ について1本ずつ式 (2.5.12) が立つ。複素数の値をとる場 $\psi$ は、実部と虚部の2つの実数の場とみなしてもよいが、$\psi$ と $\psi^*$ を独立な2つの場とみなして別々にずらしても同じ方程式が出る（実部と虚部を独立にずらすことと、$\psi$ と $\psi^*$ を独立にずらすことは、線形の変数変換で互いに移り合う）。

弦・Klein–Gordon・Schrödinger

弦

式 (2.5.1) の $\mathcal L=\frac\rho2(\partial_t\phi)^2-\frac Y2(\partial_x\phi)^2$ では、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}=\rho\,\partial_t\phi$、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_x\phi)}=-Y\partial_x\phi$、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}=0$ だから、

$$\rho\,\partial_t^2\phi-Y\partial_x^2\phi=0 .\tag{2.5.15}$$

前の章で格子の運動方程式の極限として出した波動方程式が、連続体の $\mathcal L$ から直接出た。

Klein–Gordon 場

計量 $\eta^{\mu\nu}$ で添字を上げると $\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi=\frac1{c^2}(\partial_t\phi)^2-(\nabla\phi)^2$ である。これに $\phi^2$ の項を足した

$$\mathcal L=\frac12\bigl(\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\kappa^2\phi^2\bigr),\qquad \kappa=\frac{mc}{\hbar}\tag{2.5.16}$$

を選ぶ（全体に掛かる定数は方程式を変えないので省いた）。$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu\phi)}=\partial^\mu\phi$、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}=-\kappa^2\phi$ なので、式 (2.5.13) から

$$\partial_\mu\partial^\mu\phi+\kappa^2\phi=\frac1{c^2}\partial_t^2\phi-\nabla^2\phi+\kappa^2\phi=0 .\tag{2.5.17}$$

これが Klein–Gordon 方程式である。$\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi$ も $\phi^2$ も Lorentz 変換で値が変わらないので、$\mathcal L$ は Lorentz 変換で不変なスカラーになり、出てくる方程式もどの慣性系で書いても同じ形になる。相対論的な場の方程式を探すとき、方程式を直接探すより、不変なスカラーの $\mathcal L$ を探す方が簡単である。これが場の理論を作用で書く理由の1つで、次の章の電磁場もこの考え方で $\mathcal L$ を選ぶ。

Schrödinger 場

複素数の場 $\psi(t,\bm{x})$ について

$$\mathcal L=\mathrm{i}\hbar\,\psi^*\partial_t\psi-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^*\cdot\nabla\psi-V(\bm{x})\,\psi^*\psi\tag{2.5.18}$$

を選び、$\psi$ と $\psi^*$ を独立な場とみなす。$\psi^*$ をずらすと、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\psi^*)}=0$、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\nabla\psi^*)}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi$、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \psi^*}=\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi-V\psi$ だから、式 (2.5.12) は

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi-\bigl(\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi-V\psi\bigr)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\tag{2.5.19}$$

になり、Schrödinger 方程式が出る。$\psi$ をずらすとその複素共役の式が出る。ここでの $\psi$ は量子化する前の古典的な場として扱っている。この $\mathcal L$ は時間微分について1次で、粒子の $L$ が速度について2次だったのとは形が違う。その帰結は2.5.5節で見る。