出てくるもの2：境界の項と端の条件

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部第5章場の Lagrangian 密度と場の Euler–Lagrange 方程式

空間の端
全発散を足しても方程式は変わらない
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部第5章 §2.5.4　★★ 式 (2.5.14) の面積分の項から、固定端・自由端・ばねつきの端の条件が出る。全発散を足しても方程式は変わらない

空間の端

定理 2.5.2 では、境界の全体で $\eta=0$ としていた。時刻 $t_1,t_2$ の辺については、粒子のときと同じく始めと終わりの配置を固定する約束なので、これでよい。空間の端については事情が違う。弦の端が壁に結んであれば端の変位は $0$ に決まっているが、端が自由に動けるなら、作用の停留は端を動かす変分についても要求しなければならない。

1次元の弦 $0\le x\le\ell$ で、端 $x=\ell$ の変位が自由な場合を考える。式 (2.5.14) の面積分のうち、 $x=\ell$ の辺（ $N_x=+1$ ）の寄与は

$\epsilon\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_x\phi)}\Big|_{x=\ell}\eta(t,\ell)\,\mathrm{d} t=-\epsilon\int_{t_1}^{t_2}Y\,\partial_x\phi(t,\ell)\,\eta(t,\ell)\,\mathrm{d} t$

である。まず端で $0$ になる $\eta$ だけを使えば、内部で波動方程式が出る。次に、波動方程式が成り立つことを使うと $\delta S$ の体積の項は消え、残るのはこの端の項だけになる。 $\eta(t,\ell)$ は自由に選べるので、変分法の基本補題をもう一度使って

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_x\phi)}\Big|_{x=\ell}=-Y\partial_x\phi(t,\ell)=0\qquad(\text{自由端})\tag{2.5.20}$

を得る。作用の停留から、運動方程式と一緒に端の条件も出てきた。端の条件は外から付け足すものではなく、作用の停留の一部である。一方、端 $x=0$ を固定する場合（ $\phi(t,0)=0$ ）は、許される変分が $\eta(t,0)=0$ に限られるので、端の項は初めから $0$ で、条件は $\phi(t,0)=0$ そのものになる。

端に別の物体がつながっていれば、その物体の Lagrangian を足す。たとえば端 $x=\ell$ がばね定数 $K_{\mathrm e}$ のばねで釣り合いの位置につながれているなら、作用に $-\int\frac{K_{\mathrm e}}{2}\phi(t,\ell)^2\,\mathrm{d} t$ を足す。この項の変分 $-\epsilon\int K_{\mathrm e}\phi(t,\ell)\eta(t,\ell)\,\mathrm{d} t$ を端の項に加えると

$Y\partial_x\phi(t,\ell)+K_{\mathrm e}\phi(t,\ell)=0\qquad(\text{ばねつきの端})\tag{2.5.21}$

となる。 $K_{\mathrm e}\to0$ で自由端 (2.5.20)、 $K_{\mathrm e}\to\infty$ で固定端 $\phi(t,\ell)=0$ に戻る。

全発散を足しても方程式は変わらない

粒子の Lagrangian に時間の全微分 $\frac{\mathrm{d} \Lambda(q,t)}{\mathrm{d} t}$ を足しても Euler–Lagrange 方程式は変わらなかった（第1部第4章）。場では次の形になる。

命題 2.5.3（全発散の不定性）

4つの関数 $\Lambda^\mu(\phi,x)$ を選び、 $\mathcal L'=\mathcal L+\partial_\mu\Lambda^\mu$ とする（ $\partial_\mu$ は $\phi$ を通した依存も含めて微分する）。 $\mathcal L'$ と $\mathcal L$ の場の Euler–Lagrange 方程式は同じである。

証明

発散定理 (2.5.10) から、作用の差は境界の上の $\Lambda^\mu$ の値だけで決まる面積分になる。境界で $\eta=0$ の変分では境界の $\phi$ が動かないので、作用の差は変わらず、 $\delta S'=\delta S$ である。定理 2.5.2 により、方程式は同じになる。

$\Lambda^\mu$ が $\phi$ の微分を含む場合も、 $\partial_\mu\Lambda^\mu$ の Euler–Lagrange の式は恒等的に $0$ になることが知られている（ $\Lambda^t=\phi^2\partial_x\phi$ などで直接計算して確かめられる）。Schrödinger 場の $\mathcal L$ (2.5.18) は実数でないが、 $\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\partial_t(\psi^*\psi)$ を引くと $\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}(\psi^*\partial_t\psi-\psi\,\partial_t\psi^*)-\frac{\hbar^2}{2m}\lvert \nabla\psi\rvert ^2-V\lvert \psi\rvert ^2$ という実数の $\mathcal L$ になり、命題 2.5.3 により方程式は変わらない。ただし、全発散を足すと端の項 $\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu\phi)}$ の形が変わるので、自由端の条件の読み方は $\mathcal L$ の選び方と一緒に決める必要がある。

図 2.5.3　 $x=0$ を固定した弦の基本モード $\sin kx$ 。 $x=\ell$ が自由端なら傾きが $0$ （実線）、固定端なら変位が $0$ （点線）、ばね $K_{\mathrm e}\ell/Y=1$ でつないだ端ならその中間（破線）になる。どの形も式 (2.5.14) の端の項から決まる

例題 2.5.4　端の条件で決まる固有振動 ★★

オリジナル長さ $\ell$ の弦（線密度 $\rho$ 、弾性率 $Y$ 、 $v=\sqrt{Y/\rho}$ ）の端 $x=0$ を固定する。

(1) 端 $x=\ell$ が自由端のとき、 $\phi=\sin kx\,\cos\omega t$ の形の解（固有振動）の $k$ と振動数 $f=\omega/(2\pi)$ を求めよ。
(2) 端 $x=\ell$ をばね $K_{\mathrm e}$ でつないだとき、 $k$ が満たす式を書け。 $K_{\mathrm e}\ell/Y=1$ のとき最も低い $k\ell$ を求め、基本振動数が固定-固定の場合の何倍になるかを答えよ。

解答

(1) $\sin kx$ は $x=0$ で $0$ なので固定端の条件を満たす。波動方程式から $\omega=vk$ 。自由端の条件 (2.5.20) は $Yk\cos k\ell\cos\omega t=0$ がすべての $t$ で成り立つこと、すなわち $\cos k\ell=0$ だから $k_n=\dfrac{(2n-1)\pi}{2\ell}$ （ $n=1,2,\dots$ ）、 $f_n=\dfrac{(2n-1)v}{4\ell}$ 。管楽器の閉管と同じ奇数倍の列になる。

(2) 条件 (2.5.21) に入れると $Yk\cos k\ell+K_{\mathrm e}\sin k\ell=0$ 、 $z=k\ell$ と置いて

$\tan z=-\frac{Y}{K_{\mathrm e}\ell}\,z .$

$K_{\mathrm e}\ell/Y=1$ なら $\tan z=-z$ で、 $\pi/2<z<\pi$ に最小の正の根があり、数値で解くと $z=2.0288$ である。固定-固定の基本モードは $z=\pi$ なので、振動数の比は $2.0288/\pi=0.646$ 倍になる。 $K_{\mathrm e}\to0$ で $z\to\pi/2$ （自由端）、 $K_{\mathrm e}\to\infty$ で $z\to\pi$ （固定端）に近づくことも同じ式から読み取ることができる。

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