当てる道具：場の変分と発散定理

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第5章 §2.5.2　★★★ 第1部の変分を4変数に広げる。部分積分の代わりに発散定理を使い、端の項は境界の面積分になる

場の変分

第1部第3章の変分は、経路 $q(t)$ を1つの実数 $\epsilon$ でずらした族 $q+\epsilon\eta$ を作り、$\epsilon$ で普通に微分する操作だった。場でも同じことをする。時空の領域 $\mathcal R$（たとえば $t_1\le t\le t_2$ と空間の領域の積）で定義された場 $\phi(t,\bm{x})$ に対して、滑らかな関数 $\eta(t,\bm{x})$ を選び、

$$\phi_\epsilon(t,\bm{x})=\phi(t,\bm{x})+\epsilon\,\eta(t,\bm{x}),\qquad \delta\phi\coloneqq\epsilon\,\eta,\qquad \delta S\coloneqq\epsilon\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon}S[\phi_\epsilon]\Big|_{\epsilon=0}\tag{2.5.6}$$

と定める。$\delta$ は $t$ と $\bm{x}$ を止めて $\epsilon$ で微分する操作なので、$t$ や $\bm{x}$ についての偏微分と順番を入れ替えてよい。

$$\delta(\partial_t\phi)=\partial_t(\delta\phi),\qquad \delta(\partial_i\phi)=\partial_i(\delta\phi)\quad(i=x,y,z).\tag{2.5.7}$$

これは粒子の $\delta\dot q=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q$ を4つの変数それぞれについて書いたものである。

場の汎関数微分

ある時刻の場の配置 $\phi(\bm{x})$ を入れて数を返す汎関数 $F[\phi]$（たとえばある時刻の位置エネルギー $\int\frac Y2(\partial_x\phi)^2\mathrm{d} x$）の汎関数微分は、第1部第3章の定義の $t$ を $\bm{x}$ に置き換えて

$$\delta F=\int\mathrm{d}^3x\;\frac{\delta F}{\delta\phi(\bm{x})}\,\delta\phi(\bm{x})\tag{2.5.8}$$

で定める。特に $F[\phi]=\phi(\bm{y})$（1点の値）を入れると

$$\frac{\delta\phi(\bm{y})}{\delta\phi(\bm{x})}=\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})\tag{2.5.9}$$

になる。これは第1部第3章の $\delta q(t')/\delta q(t)=\delta(t-t')$ の場の版で、多変数の $\partial x_j/\partial x_i=\delta_{ij}$ の添字 $i$ を空間の点 $\bm{x}$ に置き換えたものである。2.5.5節で場の Poisson 括弧を作るとき、この形を使う。時空の汎関数 $S[\phi]$ についても同様に $\delta S=\int\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x\;\frac{\delta S}{\delta\phi(t,\bm{x})}\delta\phi(t,\bm{x})$ で $\delta S/\delta\phi(t,\bm{x})$ を定める。

発散定理による部分積分

粒子のときは $\int\frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q\,\mathrm{d} t$ を部分積分して $\delta q$ の微分を外し、両端の項 $\bigl[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\bigr]_{t_1}^{t_2}$ を出した。場では微分が $\partial_t$ と $\partial_x,\partial_y,\partial_z$ の4つあるので、1変数の部分積分の代わりに発散定理を使う。$(t,x,y,z)$ を4つの独立な座標とみなし、領域 $\mathcal R$ の境界 $\partial\mathcal R$ の外向きの単位法線を $(N_t,N_x,N_y,N_z)$ とすると、4つの成分を持つ量 $(V^t,V^x,V^y,V^z)$ について

$$\int_{\mathcal R}\Bigl(\partial_tV^t+\sum_{i}\partial_iV^i\Bigr)\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x=\oint_{\partial\mathcal R}\Bigl(V^tN_t+\sum_iV^iN_i\Bigr)\mathrm{d}\Sigma\tag{2.5.10}$$

が成り立つ（$\mathrm{d}\Sigma$ は境界の3次元の面積要素）。ここでは $(t,x,y,z)$ を普通の4次元の直交座標として使っているだけで、計量は使っていない。$V^a=f\,g$ と置くと、各成分について

$$\int_{\mathcal R}f\,\partial_ag\;\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x=\oint_{\partial\mathcal R}f\,g\,N_a\,\mathrm{d}\Sigma-\int_{\mathcal R}g\,\partial_af\;\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x\qquad(a=t,x,y,z)\tag{2.5.11}$$

が得られる。1変数のときの両端の項は、境界の面積分になった。