授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第5章 §2.5.6　★★ 弦の素片に Newton の運動方程式を立てる導出と場の Euler–Lagrange 方程式からは同じ式が得られ、端の条件とエネルギーの流れも一致する

弦の素片の運動方程式

解析力学を使わない力学・振動波動の授業では、弦の波動方程式を次のように出す。張力 $T_{\mathrm s}$ で張った弦の、$x$ と $x+\Delta x$ の間の小さな部分（素片）を考える。素片の両端で弦が水平から角 $\theta$ だけ傾いていると、張力の縦の成分は $T_{\mathrm s}\sin\theta\approx T_{\mathrm s}\tan\theta=T_{\mathrm s}\partial_x\phi$ である。素片には右端から $+T_{\mathrm s}\partial_x\phi(x+\Delta x)$、左端から $-T_{\mathrm s}\partial_x\phi(x)$ の縦の力がかかるので、Newton の運動方程式は

$$\rho\,\Delta x\;\partial_t^2\phi=T_{\mathrm s}\bigl[\partial_x\phi(x+\Delta x)-\partial_x\phi(x)\bigr]=T_{\mathrm s}\,\partial_x^2\phi\,\Delta x+\mathcal{O}(\Delta x^2)\tag{2.5.29}$$

で、$\Delta x\to0$ で $\rho\,\partial_t^2\phi=T_{\mathrm s}\partial_x^2\phi$ になる。これは式 (2.5.15) の $Y$ を $T_{\mathrm s}$ にしたものである（$T_{\mathrm s}$ の添字 s は運動エネルギー・温度の $T$ と分けるため）。

この導出を場の言葉で読み直す。張った弦の位置エネルギーは「伸びた長さ×張力」で、素片の長さは $\sqrt{1+(\partial_x\phi)^2}\,\Delta x$ だから、位置エネルギーの密度は

$$T_{\mathrm s}\Bigl(\sqrt{1+(\partial_x\phi)^2}-1\Bigr)=\frac{T_{\mathrm s}}{2}(\partial_x\phi)^2+\mathcal{O}\bigl((\partial_x\phi)^4\bigr)$$

である。式 (2.5.1) の $-\frac Y2(\partial_x\phi)^2$ は、この展開の最初の項を残したものになる。授業の導出の $\sin\theta\approx\tan\theta$ は、$\mathcal L$ のこの展開を2次で打ち切ることに当たる。

並べて見る

自由端の条件は、授業では「端の輪は質量が無いので、縦の力の合力が $0$ でなければ無限の加速度を受ける」という議論で出す。この章では、端の変位を自由に動かす変分から機械的に出た。エネルギーの流れも、授業では「点 $x$ で左の部分が右の部分に及ぼす縦の力 $-T_{\mathrm s}\partial_x\phi$ と、その点の速度 $\partial_t\phi$ の積」として出す。これは式 (2.5.27) の $\mathcal S$ と同じである。2つの書き方から得られる物理は同じである。場の書き方の利点は、膜・音波・電磁場・量子力学の波動関数へ移るとき、毎回力の釣り合いを考え直さずに $\mathcal L$ を取り替えるだけで済むことにある。