この章のまとめ

(1) 運動の項と隣どうしのばねの項は 2.5.1節と同じで、$\frac\rho2(\partial_t\phi)^2-\frac Y2(\partial_x\phi)^2$ になる。床のばねの項は $\sum_n\frac{K_0}{2}q_n^2\to\int\frac{\mathrm{d} x}{a}\frac{K_0}{2}\phi^2$ で、$\frac{K_0}{a}=\frac ma\cdot\frac{K_0}{m}=\rho\,\omega_0^2$ だから

$$\mathcal L=\frac\rho2\Bigl[(\partial_t\phi)^2-v^2(\partial_x\phi)^2-\omega_0^2\phi^2\Bigr].$$

数値は $m=\rho a=5.0\times10^{-4}\,\mathrm{kg}$、$K=Y/a=2.0\times10^3\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$K_0=m\omega_0^2=45\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。

(2) $\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}=\rho\,\partial_t\phi$、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_x\phi)}=-\rho v^2\partial_x\phi$、$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}=-\rho\omega_0^2\phi$ を式 (2.5.12) に入れて

$$\partial_t^2\phi-v^2\partial_x^2\phi+\omega_0^2\phi=0 .$$

$c\to v$、$\kappa\to\omega_0/v$ と読み替えると Klein–Gordon 方程式 (2.5.17) と同じ形で、床のばねが「質量」の項の役をする。

(3) 平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}$ を入れて $\omega^2=\omega_0^2+v^2k^2$。$\omega_0$ より低い角周波数の波は伝わらない。原子の列では $m\ddot q_n=K(q_{n+1}-2q_n+q_{n-1})-K_0q_n$ に平面波を入れ、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}-2+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}=-4\sin^2(ka/2)$ を使って

$$\omega_{\mathrm{lat}}^2=\omega_0^2+\frac{4K}{m}\sin^2\frac{ka}{2}.$$

$\frac{4K}{m}\sin^2\frac{ka}2=v^2k^2\bigl(1-\frac{(ka)^2}{12}+\cdots\bigr)$ なので、連続体の方がわずかに高い。数値では$k\ell=\pi/2$（$ka=0.079$）で $5.5\times10^{-5}$、$k\ell=3\pi/2$（$ka=0.24$）で $1.6\times10^{-3}$、$k\ell=5\pi/2$（$ka=0.39$）で $5.6\times10^{-3}$ の割合だけ大きく、$k$ が大きいほどずれが大きい（図 2.5.1 の点線と実線の開き方と同じ）。

(4) $\phi=\sin kx\cos\omega t$ は $x=0$ の固定端を満たす。自由端の条件 $\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_x\phi)}\big|_{x=\ell}=0$ から $\cos k\ell=0$、$k_n=\frac{(2n-1)\pi}{2\ell}$ で、

$$\omega_n=\sqrt{\omega_0^2+v^2k_n^2}.$$

$v=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ だから $\omega_1=339\,\mathrm s^{-1}$、$\omega_2=559\,\mathrm s^{-1}$、$\omega_3=841\,\mathrm s^{-1}$、振動数は $f_n=\omega_n/(2\pi)=53.9,\ 88.9,\ 134\,\mathrm{Hz}$。床のばねが無ければ $f_n=25,\ 75,\ 125\,\mathrm{Hz}$ の奇数倍の列だったが、$\omega_0$ のために低いモードほど持ち上がり、等間隔でなくなる。

(5) $\pi=\rho\,\partial_t\phi$、

$$\mathcal H=\pi\,\partial_t\phi-\mathcal L=\frac{\pi^2}{2\rho}+\frac{\rho v^2}{2}(\partial_x\phi)^2+\frac{\rho\omega_0^2}{2}\phi^2 .$$

$\partial_t\mathcal H$ を計算して運動方程式 (2) を使うと $\partial_t\mathcal H+\partial_x\mathcal S=0$、$\mathcal S=-\rho v^2\partial_x\phi\,\partial_t\phi$ となる（床のばねの項は $\partial_t(\frac{\rho\omega_0^2}{2}\phi^2)=\rho\omega_0^2\phi\,\partial_t\phi$ で、運動方程式の $\omega_0^2\phi$ の項と打ち消し合うので、流れには入らない）。$x$ で積分すると $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=-[\mathcal S]_0^\ell$ で、$x=0$ では $\partial_t\phi=0$、$x=\ell$ では $\partial_x\phi=0$ なので $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=0$。基本モードでは、$\int_0^\ell\sin^2k_1x\,\mathrm{d} x=\int_0^\ell\cos^2k_1x\,\mathrm{d} x=\ell/2$ を使って

$$H=\frac{\rho A^2\ell}{4}\Bigl[\omega_1^2\sin^2\omega_1t+(v^2k_1^2+\omega_0^2)\cos^2\omega_1t\Bigr]=\frac{\rho\,\omega_1^2A^2\ell}{4}$$

となり、例題 2.5.5 の $\omega$ を $\omega_1$ に替えた形になる。