位置表示：虚時間の Mehler 核と混合した Gauss 波束

量子力学の様々な構成方法　第4部 第4章 §4.4.4　★★★ $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は時間発展の演算子を虚時間 $t=-\mathrm{i}\beta\hbar$ で読んだもので、調和振動子では Mehler 核から熱平衡の密度行列が Gauss 核として出る。逆に第4部第2章の混合した Gauss 波束はどれも、ある調和振動子の熱平衡そのものである

$\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は虚時間の時間発展

時間発展の演算子 $\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ に $t=-\mathrm{i}\beta\hbar$ を入れると $\hat U(-\mathrm{i}\beta\hbar)=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ になる。したがって熱平衡の密度行列の位置表示は、伝播関数 $K(x_f,t;x_i,0)=\langle x_f | \hat U(t) | x_i \rangle$ を虚時間で読んだものである：

$$\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x' \rangle =K(x,-\mathrm{i}\beta\hbar;x',0).\tag{4.4.18}$$

共通例題①の伝播関数は Mehler 核で、正答表の形

$$K(x_f,t;x_i,0)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega t}}\exp\Big\{\frac{\mathrm{i} m\omega}{2\hbar\sin\omega t}\big[(x_f^2+x_i^2)\cos\omega t-2x_fx_i\big]\Big\}$$

を経路積分の Gauss 積分で出すのは第3部第3章（第3部第3章）である。ここでは結果だけを使う。$t=-\mathrm{i}\beta\hbar$ で $\sin\omega t=-\mathrm{i}\sinh(\beta\hbar\omega)$、$\cos\omega t=\cosh(\beta\hbar\omega)$ なので、$\mathrm{i}\hbar\sin\omega t=\hbar\sinh(\beta\hbar\omega)$、$\mathrm{i}/\sin\omega t=-1/\sinh(\beta\hbar\omega)$ となり、

$$\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x' \rangle =\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar\sinh u}}\exp\Big\{-\frac{m\omega}{2\hbar\sinh u}\big[(x^2+x'^2)\cosh u-2xx'\big]\Big\},\qquad u=\beta\hbar\omega\tag{4.4.19}$$

を得る。平方根の分岐は、虚時間の側で核が正になるもの（$\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は正の演算子）を取る。(4.4.19) は、熱平衡の密度行列をエネルギー固有関数の和 $\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}\varphi_n(x)\varphi_n(x')$（$\varphi_n$ は Hermite 関数）として計算した値と一致する。この一致は Mehler の公式そのもので、verify_ch4-04.py で80項の和と照らし合わせた。

対角要素を積分すると分配関数が出る。$x=x'$ で指数は $-(m\omega/\hbar)x^2(\cosh u-1)/\sinh u=-(m\omega/\hbar)\tanh(u/2)\,x^2$ で、

$$Z=\int\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x \rangle \mathrm{d} x=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar\sinh u}}\sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega\tanh(u/2)}}=\frac{1}{\sqrt{2\sinh u\tanh(u/2)}}=\frac{1}{2\sinh(u/2)}$$

（$\sinh u\tanh(u/2)=2\sinh^2(u/2)$）。エネルギー表示の (4.4.13) と同じ答えが、固有値を一度も使わずに出た。位置の分散は同じ Gauss 分布の分散で

$$\langle \hat x^2 \rangle _\beta=\frac{\hbar}{2m\omega\tanh(\beta\hbar\omega/2)}=\frac{\hbar}{2m\omega}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}\tag{4.4.20}$$

である。運動量も同様に $\langle \hat p^2 \rangle _\beta=\tfrac{m\hbar\omega}{2}\coth(\beta\hbar\omega/2)$ で、$\langle \hat p^2 \rangle /(2m)+m\omega^2\langle \hat x^2 \rangle /2$ は (4.4.15) の $U$ に一致する。

重心と差で書いた熱平衡の核

第4部第2章と同じ重心 $X=(x+x')/2$ と差 $\xi=x-x'$ で (4.4.19) を書き直す。$x^2+x'^2=2X^2+\xi^2/2$、$xx'=X^2-\xi^2/4$ を代入すると

$$(x^2+x'^2)\cosh u-2xx'=2X^2(\cosh u-1)+\frac{\xi^2}{2}(\cosh u+1)$$

で、$(\cosh u-1)/\sinh u=\tanh(u/2)$、$(\cosh u+1)/\sinh u=\coth(u/2)$ から

$$\hat\rho_\beta(x,x')=\frac1Z\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x' \rangle \propto\exp\Big(-\frac{m\omega}{\hbar}\tanh\frac u2\,X^2-\frac{m\omega}{4\hbar}\coth\frac u2\,\xi^2\Big)\tag{4.4.21}$$

となる。重心の方向の幅は $\langle \hat x^2 \rangle _\beta$ で決まり、差の方向の幅（位置の離れた2点の間のコヒーレンスがどこまで続くか）は $\langle \hat p^2 \rangle _\beta$ で決まる。

混合した Gauss 波束は熱平衡である

第4部第2章の混合した Gauss 波束は

$$\rho(x,x')=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_0^2}}\exp\Big(-\frac{X^2}{2\sigma_0^2}-\frac{\Delta p^2\,\xi^2}{2\hbar^2}\Big),\qquad \mu=\frac{\hbar}{2\sigma_0\Delta p}\le1$$

だった（$\mu$ は純粋度。第4部第2章）。(4.4.21) と同じ形をしているので、係数を合わせれば熱平衡の密度行列になる。

証明

(4.4.21) で $\omega\to\Omega$、$u\to u'=\beta'\hbar\Omega$ とした核の指数の係数を、$\rho(x,x')$ の指数の係数と比べる。$X^2$ の係数が一致する条件は$(m\Omega/\hbar)\tanh(u'/2)=1/(2\sigma_0^2)$、$\xi^2$ の係数が一致する条件は $(m\Omega/4\hbar)\coth(u'/2)=\Delta p^2/(2\hbar^2)$ である。2式を掛けると $m^2\Omega^2/(4\hbar^2)=\Delta p^2/(4\hbar^2\sigma_0^2)$ で $\Omega=\Delta p/(m\sigma_0)$、これを1式目に戻すと $\tanh(u'/2)=\hbar/(2m\Omega\sigma_0^2)=\hbar/(2\sigma_0\Delta p)=\mu$。$\mu<1$ なので $u'=2\,\mathrm{artanh}\,\mu$ は正の有限の値に決まる。逆に (4.4.22) を満たせば2つの係数はどちらも一致する。指数が一致した2つの核は定数倍しか違わず、どちらもトレース（対角要素の積分）が1なので、その定数は1である。固有値は命題 4.4.4 (a) から $(1-q)q^n$、$q=\mathrm{e}^{-u'}$ で、$\tanh(u'/2)=(1-\mathrm{e}^{-u'})/(1+\mathrm{e}^{-u'})=(1-q)/(1+q)=\mu$ を $q$ について解くと (4.4.23) になる。固有関数は $\hat H_\Omega$ の固有関数で、長さの尺度は $\sqrt{\hbar/(m\Omega)}$ である。

この定理で、第4部第2章の混合した Gauss 波束の固有値の式（固有値 $(1-q)q^n$、$q=(1-\mu)/(1+\mu)$）が証明された。第4部第2章は同じ式を格子の上の対角化で確かめていた。$\hat H_\Omega$ は粒子に実際にかかっているハミルトニアンではない（第4部第2章の波束は自由粒子である）。$\Omega$ と $\beta'$ は、与えられた $\hat\rho$ をある振動子の熱平衡と読むための補助の量である。どんな正定値の密度演算子も $\hat K=-\ln\hat\rho$ と置けば $\mathrm{e}^{-\hat K}/\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\hat K}$ と書け、この $\hat K$ をモジュラー・ハミルトニアンと呼ぶ。定理 4.4.5 は、混合した Gauss 波束のモジュラー・ハミルトニアンが $\beta'\hat H_\Omega$ に定数を足したもの、つまり調和振動子になることを言っている。第4部第2章の浄化で、補助の粒子とのもつれ方が「熱平衡の調和振動子のような」形になった理由もこれで、浄化 $\Psi(x,y)=\psi(x)\chi(y)\mathrm{e}^{\mathrm{i} gxy/\hbar}$ の Schmidt 係数の2乗は (4.4.23) である。同じ密度行列を自由粒子のハミルトニアンで発展させると、$\hat\rho(t)=\hat U\hat\rho\hat U^\dagger$ の固有値は変わらず、モジュラー・ハミルトニアンだけが $\hat U\hat K\hat U^\dagger$ に動く。