当てる D の性質：フィードバックつきの経路の確率

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第4章 §4.4.3　★★★ 測定を含む経路の確率と、結果ごとに操作を逆回しにした経路の確率の比の対数は $\beta(W-\Delta F)+I(x;y)$

前の2節は、準静的な操作と平均の仕事に限っていた。この節では、有限の速さの操作も含め、1本1本の経路について同じことを言う。道具は前の章で示した経路の確率の比である。

測定の無い過程の復習

系の状態の時間列（経路）を $\Gamma=(x_0,x_1,\dots,x_N)$ と書く。Hamiltonian $E_\lambda(x)$ のパラメータ $\lambda$ を、決めておいた手順 $\Lambda=(\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_N)$ で動かし、各段で系は温度 $T$ の熱浴に接して遷移する。1段の遷移は、そのときの $\lambda$ の Gibbs 分布に対して詳細つり合いを満たすとする（局所詳細つり合い）。系が受け取る仕事は、パラメータを変えた瞬間のエネルギーの変化の和 $W[\Gamma]=\sum_{n=0}^{N-1}\bigl[E_{\lambda_{n+1}}(x_n)-E_{\lambda_n}(x_n)\bigr]$ である。

初めの分布を $\lambda_0$ の Gibbs 分布とした前向きの経路の確率を $P[\Gamma\,|\,\Lambda]$、初めの分布を終わりのパラメータ $\lambda_N$ の Gibbs 分布とし、手順を逆に並べた $\Lambda^\dagger=(\lambda_N,\dots,\lambda_0)$ で動かしたときに、逆回しの経路 $\tilde\Gamma=(x_N,\dots,x_0)$ をたどる確率を $\tilde P[\tilde\Gamma\,|\,\Lambda^\dagger]$ と書く。前の章で示した Crooks の関係は

$$\frac{P[\Gamma\,|\,\Lambda]}{\tilde P[\tilde\Gamma\,|\,\Lambda^\dagger]}=\mathrm{e}^{\beta(W[\Gamma]-\Delta F)},\qquad \Delta F=F_{\lambda_N}-F_{\lambda_0}\tag{4.4.10}$$

である（第4部第2章）。両辺を $P$ で平均すると、左辺の対数の平均は経路の相対エントロピー $D(P\,\|\,\tilde P)$ で、

$$D(P\,\|\,\tilde P)=\beta\bigl(\langle W \rangle -\Delta F\bigr)\ge0\tag{4.4.11}$$

が出る。これが前の章（第4部第3章）の「第二法則は経路の $D$ の非負性」の、初めに平衡にある場合の形である。

測定とフィードバックを入れる

時刻 $0$ で系の状態 $x_0$ を測り、結果 $y$ を確率 $p(y\,|\,x_0)$ で得る。その後のパラメータの手順を結果に合わせて $\Lambda_y$ と選ぶ。手順の終わりのパラメータも $y$ によってよく、自由エネルギーの差を $\Delta F_y$ と書く。初めの分布 $p_{\mathrm{eq}}(x_0)$ は $\lambda_0$ の Gibbs 分布で、すべての $y$ に共通である。経路と結果の同時確率は

$$P[\Gamma,y]=p(y\,|\,x_0)\,P[\Gamma\,|\,\Lambda_y]\tag{4.4.12}$$

である。$P[\Gamma\,|\,\Lambda_y]$ には初めの分布 $p_{\mathrm{eq}}(x_0)$ が含まれている。

比べる相手として、次の「逆回しの過程」を考える。まず結果 $y$ を、前向きの過程と同じ確率 $p(y)$ でくじ引きで決める。次に、終わりのパラメータの Gibbs 分布から出発して、手順 $\Lambda_y$ を逆に並べた $\Lambda_y^\dagger$ で系を動かす。測定はしない。この過程で $(\tilde\Gamma,y)$ が出る確率は

$$\tilde P[\tilde\Gamma,y]=p(y)\,\tilde P[\tilde\Gamma\,|\,\Lambda_y^\dagger]\tag{4.4.13}$$

で、$\sum_y\sum_{\tilde\Gamma}\tilde P[\tilde\Gamma,y]=\sum_yp(y)=1$ と規格化されている。

証明

式 (4.4.12) を式 (4.4.13) で割ると

$$\frac{P[\Gamma,y]}{\tilde P[\tilde\Gamma,y]}=\frac{p(y\,|\,x_0)}{p(y)}\cdot\frac{P[\Gamma\,|\,\Lambda_y]}{\tilde P[\tilde\Gamma\,|\,\Lambda_y^\dagger]}$$

である。$y$ を固めると $\Lambda_y$ は決めておいた手順なので、第2の因子に Crooks の関係 (4.4.10) を当てることができ、$\mathrm{e}^{\beta(W-\Delta F_y)}$ になる。対数をとれば式 (4.4.14) である。

式 (4.4.14) の右辺の第2項 $I(x_0;y)$ が、測定の無い式 (4.4.10) からの違いのすべてである。この項は、測定の結果 $y$ が系の状態 $x_0$ についてどれだけのことを教えたかを、経路1本ごとに測ったものである。$y$ が $x_0$ について何も教えないなら（$p(y\,|\,x_0)=p(y)$）、$I(x_0;y)=0$ で式 (4.4.10) に戻る。