この章のまとめ

(1) 半円は $\theta=\pi$ で $S=\frac c3\ln\frac2\varepsilon=50\ln(2\times10^6)=50\times14.509=725.4$。4等分では $B$ が $\pi/2$、$AB$ と $BC$ が $\pi$、$ABC$ が $3\pi/2$ なので、切断の $\ln(2/\varepsilon)$ は打ち消し合い、

$$S(AB)+S(BC)-S(B)-S(ABC)=\frac c3\ln\frac{\sin^2(\pi/2)}{\sin(\pi/4)\sin(3\pi/4)}=\frac c3\ln2=34.66 .$$

正なので強劣加法性 $I(A;C|B)\ge0$ を満たす。

(2) 2つの弧を合わせた領域の曲面は、つながらない組（それぞれの弧の測地線、合計 $2S(\theta)$）か、つながった組（間の弧の測地線2本、合計 $2S(\pi-\theta)$）の小さい方である。よって

$$I(\theta)=\max\bigl(0,\ 2S(\theta)-2S(\pi-\theta)\bigr)=\max\Bigl(0,\ \frac{2c}{3}\ln\frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}\Bigr)=\max\Bigl(0,\ \frac{2c}{3}\ln\tan\frac\theta2\Bigr).$$

$\theta\le\pi/2$ で $0$、$\theta>\pi/2$ で正（$\theta=\pi/2$ はちょうど2つの組の長さが等しい境目）。$\theta=2\pi/3$ では $\frac{2c}{3}\ln\sqrt3=\frac c3\ln3=50\times1.0986=54.93$。

(3) 1つの弧は半角 $\alpha=\pi/3$ で、その測地線と中心の距離は $\ell\operatorname{arcsinh}(\cot\frac\pi3)=0.5493\,\ell>0$。中心は弧1つの測地線の外側（弧の反対側）にあるので、弧1つのエンタングルメント・ウェッジには入らない。2つの弧を合わせた領域の極小曲面は残りの1つの弧の測地線と同じで、中心はその測地線より2つの弧の側にあるので、エンタングルメント・ウェッジに入る。中心の自由度を論理量子トリット、3つの弧を3つの物理的な量子トリットとみると、これは3量子トリット符号の $I(R;\text{1つ})=0$、$I(R;\text{2つ})=2\ln3$ と同じ形である。どの1つの弧の消失も訂正でき、どの2つの弧からも中心を再構成できる。

(4) $D(\hat\rho_L\|\mathbf 1/3)=\ln3-H(0.8,0.1,0.1)=1.0986-0.6390=0.4596$。1つの量子トリットに制限すると、どちらの状態も $\mathbf 1/3$ なので $D=0$。2つの量子トリットでは $\hat\rho_{12}=\hat U_{12}^\dagger(\hat\rho_L\otimes\frac{\mathbf 1}3)\hat U_{12}$ で、ユニタリ不変性と加法性から $D=0.4596$。3つ全部では等長写像で符号化しただけなので $D=0.4596$。データ処理不等式の並び $0\le0.4596\le0.4596$ が成り立ち、2つ目の不等号は等号である。この等号が、2つの量子トリットから論理状態を戻せること（再構成）を表している。2つの量子トリットの $D$ が論理系の $D$ に等しいのは JLMS の形で、「面積の項」$\ln3$ は2つの状態に共通なので現れない。エントロピーは $S(\hat\rho_{12})=0.6390+\ln3=1.7376$、$S(\hat\rho_3)=\ln3=1.0986$ で、差は $S(\hat\rho_L)=0.6390$。面積の項 $\ln3$ は両側に同じ量だけ入り、内部のエントロピーは論理系を含む側（1・2番目）にだけ入る。