授業で習った形との対応：Bekenstein–Hawking、双曲幾何、秘密分散

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第6章 §7.6.6　★★ Bekenstein–Hawking のエントロピー・Poincaré 上半平面の距離の公式・古典の秘密分散を、この章の RT 公式・測地線の長さ・3量子トリット符号と式で並べる

Bekenstein–Hawking エントロピーと RT 公式

一般相対論の授業では、ブラックホールのエントロピーを

$$\frac{S_{\mathrm{BH}}}{ k_{\mathrm B}}=\frac{A_{\mathrm H}}{4\ell_{\mathrm P}^2}\tag{7.6.16}$$

と習う（$A_{\mathrm H}$ は地平面の面積、$\ell_{\mathrm P}$ は第7部第1章の冒頭で定義した Planck 長。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）。RT 公式 (7.6.8) は同じ $1/4$ を、地平面に限らずすべての境界の領域の極小曲面に広げたものである。授業の式は熱力学のエントロピーで、何の状態のエントロピーなのかは書いていない。RT 公式は境界の状態 $\hat\rho_A$ の von Neumann エントロピー（無次元）で、(7.6.16) は $A$ を境界全体に取った熱状態の場合に当たる。

Poincaré 上半平面の距離

複素関数論や幾何の授業では、上半平面 $\{(x,y):y>0\}$ に計量 $(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2)/y^2$ を入れたものを双曲平面の模型として習い、2点の距離が

$$\cosh d=1+\frac{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}{2y_1y_2}\tag{7.6.17}$$

で与えられること、測地線が実軸に直交する半円であることを知る。$y=z$ と読み、計量を $\ell^2$ 倍すると AdS$_3$ の時間一定面になる。区間の両端の真上の切断の点 $(\pm R,\varepsilon)$ を代入すると $\cosh(d/\ell)=1+2R^2/\varepsilon^2$、$\cosh2u=1+2\sinh^2u$ から $d=2\ell\operatorname{arcsinh}(R/\varepsilon)$ で、$R\gg\varepsilon$ では (7.6.9) と同じ $2\ell\ln(L/\varepsilon)$ になる。授業の距離の公式の対数的な発散が、境界の CFT のエンタングルメント・エントロピーの対数と同じものである。

秘密分散と量子誤り訂正

情報理論や暗号の授業では、Shamir の $(k,n)$ しきい値秘密分散を習う¹1A. Shamir (1979), Commun. ACM 22, 612。下の脚注へ閉じる。秘密を多項式の係数に埋め、$n$ 人に多項式の値を1つずつ配ると、$k$ 人集まれば秘密が復元でき、$k-1$ 人以下では秘密について何も分からない。3量子トリット符号 (7.6.12) は、秘密 $i$ を傾き、乱数 $j$ を切片とする1次式 $f(x)=j+ix$ の $x=0,1,2$ での値を配る $(2,3)$ 方式を、乱数 $j$ について重ね合わせたものになっている。古典の方式では乱数 $j$ は配る人が知っているが、量子の方式では $j$ を重ね合わせて誰も知らない状態にするので、秘密そのものを量子状態にできる。

違いは $k$ と $n$ の関係に出る。古典の秘密は複製できるので $(2,4)$ 方式も作れるが、量子の秘密では、2人ずつの2組が別々に同じ量子状態を復元できれば複製禁止定理に反する。量子のしきい値方式には $2k>n$ が必要である（Cleve–Gottesman–Lo）。エンタングルメント・ウェッジの言葉では、境界を2つに分けたとき内部の1点を再構成できるのは多くとも一方だけ、ということになる。相補的な再構成（7.6.2節）はこの条件の重力の姿である。