相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部 第6章 §7.6.2 ★★★ エンタングルメント・エントロピーの量子補正の式（FLM）から、境界のモジュラー Hamiltonian と内部のモジュラー Hamiltonian の関係を出し、面積の項が打ち消し合って D A = D a D_A=D_a D A = D a
エントロピーの式とモジュラー Hamiltonian
次の節で示す RT 公式は、境界の領域 A A A γ A \gamma_A γ A
S ( ρ ^ A ) = ⟨ A ^ ⟩ ρ 4 ℓ P d − 1 + S ( ρ ^ a ) + O ( ℓ P d − 1 ) (7.6.4) S(\hat\rho_A)=\frac{\langle \hat{\mathcal A} \rangle _\rho}{4\ell_{\mathrm P}^{d-1}}+S(\hat\rho_a)+\mathcal{O}(\ell_{\mathrm P}^{d-1})\tag{7.6.4} S ( ρ ^ A ) = 4 ℓ P d − 1 ⟨ A ^ ⟩ ρ + S ( ρ ^ a ) + O ( ℓ P d − 1 ) ( 7.6.4 )
である1 1 T. Faulkner, A. Lewkowycz, J. Maldacena (2013), JHEP 11 , 074。A ^ \hat{\mathcal A} A ^ γ A \gamma_A γ A A ^ \hat{\mathcal A} A ^ a a a
この式から、背骨の相対エントロピーについて何が言えるかを調べる。状態 ρ ^ \hat\rho ρ ^ モジュラー Hamiltonian を K ^ ρ = − ln ρ ^ \hat K_\rho=-\ln\hat\rho K ^ ρ = − ln ρ ^ (7.1.8) と同じく（第7部第1章 ）、相対エントロピーはモジュラー Hamiltonian の期待値の差とエントロピーの差で書ける：
D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = Tr ρ ^ K ^ σ − S ( ρ ^ ) = Δ ⟨ K ^ σ ⟩ − Δ S , Δ ⟨ K ^ σ ⟩ = Tr ( ρ ^ − σ ^ ) K ^ σ , Δ S = S ( ρ ^ ) − S ( σ ^ ) . (7.6.5) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho\hat K_\sigma-S(\hat\rho)=\Delta\langle \hat K_\sigma \rangle -\Delta S,\qquad
\Delta\langle \hat K_\sigma \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho-\hat\sigma)\hat K_\sigma,\ \Delta S=S(\hat\rho)-S(\hat\sigma).\tag{7.6.5} D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) = Tr ρ ^ K ^ σ − S ( ρ ^ ) = Δ ⟨ K ^ σ ⟩ − Δ S , Δ ⟨ K ^ σ ⟩ = Tr ( ρ ^ − σ ^ ) K ^ σ , Δ S = S ( ρ ^ ) − S ( σ ^ ) . ( 7.6.5 )
第1章ではモジュラー Hamiltonian を σ ^ = e − K ^ / Z \hat\sigma=\mathrm{e}^{-\hat K}/Z σ ^ = e − K ^ / Z (7.1.5) ）。ここの K ^ σ = − ln σ ^ \hat K_\sigma=-\ln\hat\sigma K ^ σ = − ln σ ^ ln Z \ln Z ln Z Δ ⟨ K ^ ⟩ \Delta\langle \hat K \rangle Δ ⟨ K ^ ⟩
定理 7.6.1（JLMS の等式 ★★★）
符号部分空間のすべての状態 ρ ^ \hat\rho ρ ^ A ^ \hat{\mathcal A} A ^ (7.6.4) が誤差なしに成り立つとする。このとき
(i) 境界のモジュラー Hamiltonian は符号部分空間の上で
V ^ † ( K ^ ρ A ⊗ 1 A ˉ ) V ^ = A ^ 4 ℓ P d − 1 + K ^ ρ a ⊗ 1 a ˉ (7.6.6) \hat V^\dagger(\hat K_{\rho_A}\otimes\mathbf 1_{\bar A})\hat V=\frac{\hat{\mathcal A}}{4\ell_{\mathrm P}^{d-1}}+\hat K_{\rho_a}\otimes\mathbf 1_{\bar a}\tag{7.6.6} V ^ † ( K ^ ρ A ⊗ 1 A ˉ ) V ^ = 4 ℓ P d − 1 A ^ + K ^ ρ a ⊗ 1 a ˉ ( 7.6.6 )
になる。2. (ii) 符号部分空間の任意の2つの状態について
D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a ) (7.6.7) D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\sigma_A)=D(\hat\rho_a\,\|\,\hat\sigma_a)\tag{7.6.7} D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a ) ( 7.6.7 )
が成り立つ。
証明 (i) 状態を ρ ^ → ρ ^ + δ ρ ^ \hat\rho\to\hat\rho+\delta\hat\rho ρ ^ → ρ ^ + δ ρ ^ Tr δ ρ ^ = 0 \operatorname{Tr}\delta\hat\rho=0 Tr δ ρ ^ = 0 S ( ρ ^ ) = − Tr ρ ^ ln ρ ^ S(\hat\rho)=-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho S ( ρ ^ ) = − Tr ρ ^ ln ρ ^ δ S = − Tr δ ρ ^ ln ρ ^ − Tr δ ρ ^ = Tr δ ρ ^ K ^ ρ \delta S=-\operatorname{Tr}\delta\hat\rho\ln\hat\rho-\operatorname{Tr}\delta\hat\rho=\operatorname{Tr}\delta\hat\rho\,\hat K_\rho δ S = − Tr δ ρ ^ ln ρ ^ − Tr δ ρ ^ = Tr δ ρ ^ K ^ ρ Tr δ ρ ^ = 0 \operatorname{Tr}\delta\hat\rho=0 Tr δ ρ ^ = 0 Tr ( δ ρ ^ A K ^ ρ A ) = Tr ( δ ρ ^ V ^ † ( K ^ ρ A ⊗ 1 ) V ^ ) \operatorname{Tr}(\delta\hat\rho_A\hat K_{\rho_A})=\operatorname{Tr}\bigl(\delta\hat\rho\,\hat V^\dagger(\hat K_{\rho_A}\otimes\mathbf 1)\hat V\bigr) Tr ( δ ρ ^ A K ^ ρ A ) = Tr ( δ ρ ^ V ^ † ( K ^ ρ A ⊗ 1 ) V ^ ) Tr ( δ ρ ^ ( A ^ / 4 ℓ P d − 1 + K ^ ρ a ⊗ 1 ) ) \operatorname{Tr}\bigl(\delta\hat\rho\,(\hat{\mathcal A}/4\ell_{\mathrm P}^{d-1}+\hat K_{\rho_a}\otimes\mathbf 1)\bigr) Tr ( δ ρ ^ ( A ^ /4 ℓ P d − 1 + K ^ ρ a ⊗ 1 ) ) δ ρ ^ \delta\hat\rho δ ρ ^ k 1 k\mathbf 1 k 1 ρ ^ \hat\rho ρ ^ S ( ρ ^ A ) S(\hat\rho_A) S ( ρ ^ A ) + k +k + k k = 0 k=0 k = 0
(ii) (7.6.5) を σ ^ \hat\sigma σ ^ σ ^ \hat\sigma σ ^
D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = Tr ( ρ ^ V ^ † ( K ^ σ A ⊗ 1 ) V ^ ) − S ( ρ ^ A ) = ⟨ A ^ ⟩ ρ 4 ℓ P d − 1 + Tr ρ ^ a K ^ σ a − ⟨ A ^ ⟩ ρ 4 ℓ P d − 1 − S ( ρ ^ a ) . D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\sigma_A)=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\hat V^\dagger(\hat K_{\sigma_A}\otimes\mathbf 1)\hat V\bigr)-S(\hat\rho_A)
=\frac{\langle \hat{\mathcal A} \rangle _\rho}{4\ell_{\mathrm P}^{d-1}}+\operatorname{Tr}\hat\rho_a\hat K_{\sigma_a}-\frac{\langle \hat{\mathcal A} \rangle _\rho}{4\ell_{\mathrm P}^{d-1}}-S(\hat\rho_a). D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = Tr ( ρ ^ V ^ † ( K ^ σ A ⊗ 1 ) V ^ ) − S ( ρ ^ A ) = 4 ℓ P d − 1 ⟨ A ^ ⟩ ρ + Tr ρ ^ a K ^ σ a − 4 ℓ P d − 1 ⟨ A ^ ⟩ ρ − S ( ρ ^ a ) .
最後に FLM の式を ρ ^ \hat\rho ρ ^ D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a ) D(\hat\rho_a\,\|\,\hat\sigma_a) D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a )
面積の項が消えたことには意味がある。面積は境界の領域ごとに大きな値（ℓ P d − 1 \ell_{\mathrm P}^{d-1} ℓ P d − 1 差 だけを測るので、両方の状態に共通の幾何の寄与は落ちる。「境界の A A A a a a 2 2 D. L. Jafferis, A. Lewkowycz, J. Maldacena, S. J. Suh (2016), JHEP 06 , 004。ℓ P \ell_{\mathrm P} ℓ P
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの ℓ P / ℓ → 0 \ell_{\mathrm P}/\ell\to0 ℓ P / ℓ → 0 c → ∞ c\to\infty c → ∞ 証明 条件付き（重力の経路積分を古典解の周りの鞍点で評価・FLM の1ループまで。JLMS 2016） ｜ 行き先 近似の数理 第7章
データ処理不等式の等号から再構成へ
JLMS の等式に、第3部第3章 ・第3部第9章 のデータ処理不等式と Petz の定理を当てる。
まず、A ⊂ B A\subset B A ⊂ B D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) ≤ D ( ρ ^ B ∥ σ ^ B ) D(\hat\rho_A\|\hat\sigma_A)\le D(\hat\rho_B\|\hat\sigma_B) D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) ≤ D ( ρ ^ B ∥ σ ^ B ) D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a ) ≤ D ( ρ ^ b ∥ σ ^ b ) D(\hat\rho_a\|\hat\sigma_a)\le D(\hat\rho_b\|\hat\sigma_b) D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a ) ≤ D ( ρ ^ b ∥ σ ^ b ) a ⊂ b a\subset b a ⊂ b エンタングルメント・ウェッジの入れ子 ）。境界を広げれば、対応する内部の領域も広がる。
次に、再構成を示す。
定理 7.6.2（エンタングルメント・ウェッジの再構成 ★★★）
符号部分空間のすべての組で JLMS の等式 (7.6.7) が成り立つとする。このとき境界の A A A a a a R A \mathcal R_A R A R A ( ρ ^ A ) = ρ ^ a \mathcal R_A(\hat\rho_A)=\hat\rho_a R A ( ρ ^ A ) = ρ ^ a a a a O ^ a \hat O_a O ^ a A A A O ^ A \hat O_A O ^ A O ^ A V ^ = V ^ ( O ^ a ⊗ 1 a ˉ ) \hat O_A\hat V=\hat V(\hat O_a\otimes\mathbf 1_{\bar a}) O ^ A V ^ = V ^ ( O ^ a ⊗ 1 a ˉ )
証明 ρ ^ a = σ ^ a \hat\rho_a=\hat\sigma_a ρ ^ a = σ ^ a D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = 0 D(\hat\rho_A\|\hat\sigma_A)=0 D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = 0 ρ ^ A = σ ^ A \hat\rho_A=\hat\sigma_A ρ ^ A = σ ^ A ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ρ ^ a \hat\rho_a ρ ^ a a a a τ ^ \hat\tau τ ^ a ˉ \bar a a ˉ ω ^ \hat\omega ω ^ A A A M ( τ ^ ) = Tr A ˉ V ^ ( τ ^ ⊗ ω ^ ) V ^ † \mathcal M(\hat\tau)=\operatorname{Tr}_{\bar A}\hat V(\hat\tau\otimes\hat\omega)\hat V^\dagger M ( τ ^ ) = Tr A ˉ V ^ ( τ ^ ⊗ ω ^ ) V ^ † ρ ^ A = M ( ρ ^ a ) \hat\rho_A=\mathcal M(\hat\rho_a) ρ ^ A = M ( ρ ^ a ) M \mathcal M M a a a D ( M ( τ ^ ) ∥ M ( τ ^ ′ ) ) = D ( τ ^ ∥ τ ^ ′ ) D(\mathcal M(\hat\tau)\,\|\,\mathcal M(\hat\tau'))=D(\hat\tau\,\|\,\hat\tau') D ( M ( τ ^ ) ∥ M ( τ ^ ′ )) = D ( τ ^ ∥ τ ^ ′ ) M \mathcal M M τ ^ ′ \hat\tau' τ ^ ′ 第3部第9章 ）により、Petz の回復写像 R A = P τ ′ , M \mathcal R_A=\mathcal P_{\tau',\mathcal M} R A = P τ ′ , M τ ^ \hat\tau τ ^ R A ( M ( τ ^ ) ) = τ ^ \mathcal R_A(\mathcal M(\hat\tau))=\hat\tau R A ( M ( τ ^ )) = τ ^ R A \mathcal R_A R A R A † ( O ^ a ) \mathcal R_A^\dagger(\hat O_a) R A † ( O ^ a ) O ^ A \hat O_A O ^ A
この論法は Dong–Harlow–Wall による3 3 X. Dong, D. Harlow, A. C. Wall (2016), Phys. Rev. Lett. 117 , 021601。Petz の写像で具体的に書いた形は J. Cotler, P. Hayden, G. Penington, G. Salton, B. Swingle, M. Walter (2019), Phys. Rev. X 9 , 031011。A ˉ \bar A A ˉ A ˉ \bar A A ˉ a ˉ \bar a a ˉ a a a A A A A ˉ \bar A A ˉ a a a 第3部第9章 の「A ˉ \bar A A ˉ ⇔ I ( R ; A ˉ ) = 0 \Leftrightarrow I(R;\bar A)=0 ⇔ I ( R ; A ˉ ) = 0
第7部第4章の Hayden–Preskill の取り戻しも、同じ形に書ける。そこでは残り C C C R R R I ( R ; C ) = 0 I(R;C)=0 I ( R ; C ) = 0 (7.4.3) ）が、放射 E L EL E L 7.4.4 ）。どちらも、データ処理不等式の等号が回復を与えるという第3部第9章の Petz の定理の当てはめである。
例題 7.6.2 面積の項を持つ小さな符号で JLMS を確かめる ★★
オリジナル 境界を A = A 1 A 2 A=A_1A_2 A = A 1 A 2 A ˉ = A ˉ 1 A ˉ 2 \bar A=\bar A_1\bar A_2 A ˉ = A ˉ 1 A ˉ 2 a a a a ˉ \bar a a ˉ V ^ ∣ i ⟩ a ∣ j ⟩ a ˉ = ∣ i ⟩ A 1 ∣ j ⟩ A ˉ 1 ∣ χ ⟩ A 2 A ˉ 2 \hat V| i \rangle _a| j \rangle _{\bar a}=| i \rangle _{A_1}| j \rangle _{\bar A_1}| \chi \rangle _{A_2\bar A_2} V ^ ∣ i ⟩ a ∣ j ⟩ a ˉ = ∣ i ⟩ A 1 ∣ j ⟩ A ˉ 1 ∣ χ ⟩ A 2 A ˉ 2 ∣ χ ⟩ = 3 / 4 ∣ 00 ⟩ + 1 / 4 ∣ 11 ⟩ | \chi \rangle =\sqrt{3/4}| 00 \rangle +\sqrt{1/4}| 11 \rangle ∣ χ ⟩ = 3/4 ∣00 ⟩ + 1/4 ∣11 ⟩
(1) ρ ^ a = d i a g ( 0.9 , 0.1 ) \hat\rho_a=\mathrm{diag}(0.9,0.1) ρ ^ a = diag ( 0.9 , 0.1 ) σ ^ a = 1 / 2 \hat\sigma_a=\mathbf 1/2 σ ^ a = 1 /2 D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a ) D(\hat\rho_a\|\hat\sigma_a) D ( ρ ^ a ∥ σ ^ a ) D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) D(\hat\rho_A\|\hat\sigma_A) D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) (2) S ( ρ ^ A ) S(\hat\rho_A) S ( ρ ^ A ) (7.6.4) のどの項がどれに当たるか述べよ。(3) K ^ σ A \hat K_{\sigma_A} K ^ σ A Δ ⟨ K ^ ⟩ \Delta\langle \hat K \rangle Δ ⟨ K ^ ⟩ ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩
解答 (1) ρ ^ A = ρ ^ a ⊗ χ ^ A 2 \hat\rho_A=\hat\rho_a\otimes\hat\chi_{A_2} ρ ^ A = ρ ^ a ⊗ χ ^ A 2 χ ^ A 2 = Tr A ˉ 2 ∣ χ ⟩ ⟨ χ ∣ = d i a g ( 3 / 4 , 1 / 4 ) \hat\chi_{A_2}=\operatorname{Tr}_{\bar A_2}| \chi \rangle \langle \chi |=\mathrm{diag}(3/4,1/4) χ ^ A 2 = Tr A ˉ 2 ∣ χ ⟩ ⟨ χ ∣ = diag ( 3/4 , 1/4 ) σ ^ A = σ ^ a ⊗ χ ^ A 2 \hat\sigma_A=\hat\sigma_a\otimes\hat\chi_{A_2} σ ^ A = σ ^ a ⊗ χ ^ A 2 D ( ρ ^ a ∥ 1 / 2 ) = ln 2 − h b ( 0.1 ) = 0.6931 − 0.3251 = 0.3681 D(\hat\rho_a\|\mathbf 1/2)=\ln2-h_{\mathrm b}(0.1)=0.6931-0.3251=0.3681 D ( ρ ^ a ∥ 1 /2 ) = ln 2 − h b ( 0.1 ) = 0.6931 − 0.3251 = 0.3681 D D D χ ^ A 2 \hat\chi_{A_2} χ ^ A 2 D D D 0 0 0 D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = 0.3681 D(\hat\rho_A\|\hat\sigma_A)=0.3681 D ( ρ ^ A ∥ σ ^ A ) = 0.3681
(2) S ( ρ ^ A ) = S ( ρ ^ a ) + S ( χ ^ A 2 ) = h b ( 0.1 ) + h b ( 1 / 4 ) = 0.3251 + 0.5623 = 0.8874 S(\hat\rho_A)=S(\hat\rho_a)+S(\hat\chi_{A_2})=h_{\mathrm b}(0.1)+h_{\mathrm b}(1/4)=0.3251+0.5623=0.8874 S ( ρ ^ A ) = S ( ρ ^ a ) + S ( χ ^ A 2 ) = h b ( 0.1 ) + h b ( 1/4 ) = 0.3251 + 0.5623 = 0.8874 S ( χ ^ A 2 ) = h b ( 1 / 4 ) S(\hat\chi_{A_2})=h_{\mathrm b}(1/4) S ( χ ^ A 2 ) = h b ( 1/4 ) ⟨ A ^ ⟩ / 4 ℓ P d − 1 \langle \hat{\mathcal A} \rangle /4\ell_{\mathrm P}^{d-1} ⟨ A ^ ⟩ /4 ℓ P d − 1 S ( ρ ^ a ) S(\hat\rho_a) S ( ρ ^ a ) A A A A ˉ \bar A A ˉ ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩
(3) K ^ σ A = − ln ( σ ^ a ⊗ χ ^ A 2 ) = K ^ σ a ⊗ 1 + 1 ⊗ ( − ln χ ^ A 2 ) \hat K_{\sigma_A}=-\ln(\hat\sigma_a\otimes\hat\chi_{A_2})=\hat K_{\sigma_a}\otimes\mathbf 1+\mathbf 1\otimes(-\ln\hat\chi_{A_2}) K ^ σ A = − ln ( σ ^ a ⊗ χ ^ A 2 ) = K ^ σ a ⊗ 1 + 1 ⊗ ( − ln χ ^ A 2 ) h b ( 1 / 4 ) h_{\mathrm b}(1/4) h b ( 1/4 ) Δ ⟨ K ^ σ A ⟩ = Δ ⟨ K ^ σ a ⟩ \Delta\langle \hat K_{\sigma_A} \rangle =\Delta\langle \hat K_{\sigma_a} \rangle Δ ⟨ K ^ σ A ⟩ = Δ ⟨ K ^ σ a ⟩ K ^ σ a = ln 2 ⋅ 1 \hat K_{\sigma_a}=\ln2\cdot\mathbf 1 K ^ σ a = ln 2 ⋅ 1 Δ ⟨ K ^ ⟩ = 0 \Delta\langle \hat K \rangle =0 Δ ⟨ K ^ ⟩ = 0 Δ S = 0.3251 − 0.6931 = − 0.3681 \Delta S=0.3251-0.6931=-0.3681 Δ S = 0.3251 − 0.6931 = − 0.3681 D = Δ ⟨ K ^ ⟩ − Δ S = 0.3681 D=\Delta\langle \hat K \rangle -\Delta S=0.3681 D = Δ ⟨ K ^ ⟩ − Δ S = 0.3681 7.6.1 の証明の打ち消しを小さな模型で見たことになる。
1 T. Faulkner, A. Lewkowycz, J. Maldacena (2013), JHEP 11 , 074。
2 D. L. Jafferis, A. Lewkowycz, J. Maldacena, S. J. Suh (2016), JHEP 06 , 004。
3 X. Dong, D. Harlow, A. C. Wall (2016), Phys. Rev. Lett. 117 , 021601。Petz の写像で具体的に書いた形は J. Cotler, P. Hayden, G. Penington, G. Salton, B. Swingle, M. Walter (2019), Phys. Rev. X 9 , 031011。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
