出てくるもの1：Ryu–Takayanagi 公式

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第6章 §7.6.3　★★★ 境界の領域のエンタングルメント・エントロピーは内部の極小曲面の面積を $4\ell_{\mathrm P}^{d-1}$ で割ったもので、AdS$_3$ では測地線の長さから $(c/3)\ln(L/\varepsilon)$ が出る

公式

Ryu と高柳はこの公式を予想として出し、AdS$_3$ で CFT の既知の結果と一致することを確かめた¹1S. Ryu, T. Takayanagi (2006), Phys. Rev. Lett. 96, 181602。時間に依存する場合は極値曲面に置き換わる：V. E. Hubeny, M. Rangamani, T. Takayanagi (2007), JHEP 07, 062。下の脚注へ閉じる。重力の経路積分で $\operatorname{Tr}\hat\rho_A^n$ を計算する方法（レプリカトリック）による導出は Lewkowycz–Maldacena が与えた²2A. Lewkowycz, J. Maldacena (2013), JHEP 08, 090。下の脚注へ閉じる。係数の $1/4$ は Bekenstein–Hawking エントロピー（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）と同じもので、領域 $A$ を境界全体に取ると、ブラックホールがあるときの $\gamma_A$ は地平面になり (7.6.8) は $S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}$ になる。RT 公式は「どの境界の領域のエントロピーも、内部のどこかの面の面積で数えられる」と言っており、Bekenstein–Hawking の公式はその1つの場合である。

この節の「領域 $a$」が前の節で使った内部の領域で、$A$ と $\gamma_A$ が囲む部分（その依存領域をエンタングルメント・ウェッジと呼ぶ）である。定理 7.6.2 の再構成はこの $a$ の中の演算子について成り立つ。

AdS$_3$ の区間

$d=2$ で、境界の長さ $L$ の区間 $A=[-R,R]$（$L=2R$）を取る。Poincaré 上半平面の測地線は境界に直交する半円で、$A$ の端を結ぶものは $x=R\cos\theta$、$z=R\sin\theta$ である。この曲線に沿った線素は $\mathrm{d} s=\ell\sqrt{\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} z^2}/z=\ell\,\mathrm{d}\theta/\sin\theta$ なので、切断 $z\ge\varepsilon$ の部分の長さは

$$\operatorname{Length}(\gamma_A)=2\ell\int_{\theta_\varepsilon}^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sin\theta}=2\ell\operatorname{arccosh}\frac{R}{\varepsilon}=2\ell\ln\frac{L}{\varepsilon}+\mathcal{O}\Bigl(\frac{\varepsilon^2}{L^2}\Bigr)\tag{7.6.9}$$

である（$\sin\theta_\varepsilon=\varepsilon/R$、$\int\mathrm{d}\theta/\sin\theta=\ln\tan(\theta/2)$）。3次元では「面積」は長さで、$\ell_{\mathrm P}^{d-1}=\ell_{\mathrm P}$ なので、RT 公式と Brown–Henneaux の関係 (7.6.2) から

$$S(\hat\rho_A)=\frac{2\ell}{4\ell_{\mathrm P}}\ln\frac{L}{\varepsilon}=\frac{c}{3}\ln\frac{L}{\varepsilon}\tag{7.6.10}$$

が出る。これは2次元の CFT の区間のエンタングルメント・エントロピーの一般の式（Holzhey–Larsen–Wilczek、Calabrese–Cardy³3C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek (1994), Nucl. Phys. B 424, 443。P. Calabrese, J. Cardy (2004), J. Stat. Mech. P06002。下の脚注へ閉じる）と一致する。第5部第1章では同じ式を臨界のスピン鎖の数値計算で $c=1$ として確かめた。RT 公式は、その係数 $c$ を内部の曲率半径と Planck 長の比として読み、対数を測地線が境界の近くで費やす長さとして読む。境界の近くの1つの層（例題 7.6.1）が $\ell\ln2$ の長さを持ち、区間の両端で層が数えられるので、切断を半分にするたびに $S$ は $2\ell\ln2/(4\ell_{\mathrm P})=(c/3)\ln2$ 増える。

有限温度の場合も同じ方法で計算でき、内部が BTZ ブラックホール⁴4M. Bañados, C. Teitelboim, J. Zanelli (1992), Phys. Rev. Lett. 69, 1849。下の脚注へ閉じるになると測地線の長さから$S=(c/3)\ln\bigl(\frac{\beta}{\pi\varepsilon}\sinh\frac{\pi L}{\beta}\bigr)$ が出る（$\beta$ は長さで測った逆温度）。$L\ll\beta$ で (7.6.10) に戻り、$L\gg\beta$ で $S\approx(\pi c/3)(L/\beta)$ と長さに比例する。後者は熱状態の体積則で、測地線が地平面に沿って伸び、地平面の面積の一部を数えている。

RT 公式が満たす不等式

RT 公式で決まるエントロピーは、量子状態のエントロピーが満たすべき不等式を幾何の性質として満たす。劣加法性 $S(A)+S(B)\ge S(AB)$ は、$\gamma_A\cup\gamma_B$ が $AB$ にホモロガスな曲面の1つで、極小の $\gamma_{AB}$ はそれより短いことから出る。強劣加法性（第3部第3章）も、$\gamma_{AB}\cup\gamma_{BC}$ を切って貼り直すと $B$ と $ABC$ にホモロガスな曲面の組になることから示される⁵5M. Headrick, T. Takayanagi (2007), Phys. Rev. D 76, 106013。下の脚注へ閉じる。

2つの離れた区間 $A,B$ の相互情報量 $I(A;B)=S(A)+S(B)-S(AB)$ には、RT 公式に特有の振る舞いがある（図 7.6.2）。$AB$ の曲面には、$\gamma_A\cup\gamma_B$（つながらない組）と、外側を結ぶ測地線と間を結ぶ測地線の組（つながった組）の2つの候補があり、短い方が選ばれる。間隔が広いとつながらない組が選ばれて $I(A;B)=0$（主要項）、間隔が狭いとつながった組が選ばれて $I(A;B)$ は $c$ に比例する大きさになる。長さ $a,b$ の区間が間隔 $x$ で並ぶとき、(7.6.10) の形を使って

$$I(A;B)=\max\Bigl(0,\ \frac{c}{3}\ln\frac{ab}{x(a+b+x)}\Bigr)\tag{7.6.11}$$

である（$\varepsilon$ は打ち消し合う）。

1　S. Ryu, T. Takayanagi (2006), Phys. Rev. Lett. 96, 181602。時間に依存する場合は極値曲面に置き換わる：V. E. Hubeny, M. Rangamani, T. Takayanagi (2007), JHEP 07, 062。

2　A. Lewkowycz, J. Maldacena (2013), JHEP 08, 090。

3　C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek (1994), Nucl. Phys. B 424, 443。P. Calabrese, J. Cardy (2004), J. Stat. Mech. P06002。

4　M. Bañados, C. Teitelboim, J. Zanelli (1992), Phys. Rev. Lett. 69, 1849。

5　M. Headrick, T. Takayanagi (2007), Phys. Rev. D 76, 106013。