相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部 第6章 §7.6.4 ★★★ 内部の中心の演算子が境界の重ならない3つの領域のどれでも書けるという矛盾を、3量子トリット符号の「どの1つの消失も訂正できる」性質として解く
1点が3つの場所にある
3次元の AdS の時間一定面全体は Poincaré 円板（半径 1 1 1 d s 2 = 4 ℓ 2 ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) / ( 1 − r 2 ) 2 \mathrm{d} s^2=4\ell^2(\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2)/(1-r^2)^2 d s 2 = 4 ℓ 2 ( d r 2 + r 2 d φ 2 ) / ( 1 − r 2 ) 2 A , B , C A,B,C A , B , C 7.6.3 ）。半角 α \alpha α 1 / cos α 1/\cos\alpha 1/ cos α tan α \tan\alpha tan α ℓ arcsinh ( cot α ) \ell\operatorname{arcsinh}(\cot\alpha) ℓ arcsinh ( cot α ) α = π / 3 \alpha=\pi/3 α = π /3 0.5493 ℓ 0.5493\,\ell 0.5493 ℓ C C C A B AB A B
中心の場の演算子 ϕ ^ ( 0 ) \hat\phi(0) ϕ ^ ( 0 ) 7.6.2 により A B AB A B B C BC B C C A CA C A C C C A A A B B B ϕ ^ ( 0 ) \hat\phi(0) ϕ ^ ( 0 ) 1つの 演算子なら、それは A A A B B B C C C 1 1 A. Almheiri, X. Dong, D. Harlow (2015), JHEP 04 , 163。
図 7.6.3 Poincaré 円板の境界を3等分した弧 A , B , C A,B,C A , B , C 0.5493 ℓ 0.5493\,\ell 0.5493 ℓ
3量子トリット符号
3準位の量子系（量子トリット）を3つ使い、論理的な量子トリット1つを
∣ i ~ ⟩ = 1 3 ∑ j = 0 2 ∣ j ⟩ ∣ j + i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩ ( i = 0 , 1 , 2 , 足し算は 3 を法とする ) (7.6.12) | \tilde i \rangle =\frac{1}{\sqrt3}\sum_{j=0}^{2}| j \rangle | j+i \rangle | j+2i \rangle \qquad(i=0,1,2,\ \text{足し算は}\ 3\ \text{を法とする})\tag{7.6.12} ∣ i ~ ⟩ = 3 1 j = 0 ∑ 2 ∣ j ⟩ ∣ j + i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩ ( i = 0 , 1 , 2 , 足し算は 3 を法とする ) ( 7.6.12 )
と符号化する2 2 R. Cleve, D. Gottesman, H.-K. Lo (1999), Phys. Rev. Lett. 83 , 648 の量子秘密分散の符号。∣ 0 ~ ⟩ = ( ∣ 000 ⟩ + ∣ 111 ⟩ + ∣ 222 ⟩ ) / 3 | \tilde0 \rangle =(| 000 \rangle +| 111 \rangle +| 222 \rangle )/\sqrt3 ∣ 0 ~ ⟩ = ( ∣000 ⟩ + ∣111 ⟩ + ∣222 ⟩) / 3 ∣ 1 ~ ⟩ = ( ∣ 012 ⟩ + ∣ 120 ⟩ + ∣ 201 ⟩ ) / 3 | \tilde1 \rangle =(| 012 \rangle +| 120 \rangle +| 201 \rangle )/\sqrt3 ∣ 1 ~ ⟩ = ( ∣012 ⟩ + ∣120 ⟩ + ∣201 ⟩) / 3 ∣ 2 ~ ⟩ = ( ∣ 021 ⟩ + ∣ 102 ⟩ + ∣ 210 ⟩ ) / 3 | \tilde2 \rangle =(| 021 \rangle +| 102 \rangle +| 210 \rangle )/\sqrt3 ∣ 2 ~ ⟩ = ( ∣021 ⟩ + ∣102 ⟩ + ∣210 ⟩) / 3
第一に、どの1つの量子トリットの縮約状態も、論理状態によらず 1 / 3 \mathbf 1/3 1 /3 ∣ i ~ ⟩ | \tilde i \rangle ∣ i ~ ⟩ j j j 0 , 1 , 2 0,1,2 0 , 1 , 2 ∑ i c i ∣ i ~ ⟩ \sum_ic_i| \tilde i \rangle ∑ i c i ∣ i ~ ⟩ i i i ∣ j + i , j + 2 i ⟩ | j+i,j+2i \rangle ∣ j + i , j + 2 i ⟩ 1 / 3 \mathbf 1/3 1 /3 第3部第9章 の言葉では、論理系と最大にもつれさせた参照系 R R R I ( R ; 1つ ) = 0 I(R;\text{1つ})=0 I ( R ; 1 つ ) = 0 I ( R ; 残りの2つ ) = 2 S ( R ) = 2 ln 3 I(R;\text{残りの2つ})=2S(R)=2\ln3 I ( R ; 残りの 2 つ ) = 2 S ( R ) = 2 ln 3
第二に、その「すべて入っている」は具体的なユニタリで見える。1・2番目の量子トリットに置換 U ^ 12 : ∣ a ⟩ ∣ b ⟩ ↦ ∣ b − a ⟩ ∣ 2 b − a ⟩ \hat U_{12}:| a \rangle | b \rangle \mapsto| b-a \rangle | 2b-a \rangle U ^ 12 : ∣ a ⟩ ∣ b ⟩ ↦ ∣ b − a ⟩ ∣2 b − a ⟩ a = j a=j a = j b = j + i b=j+i b = j + i ∣ i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩ | i \rangle | j+2i \rangle ∣ i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩
( U ^ 12 ⊗ 1 ) ∣ i ~ ⟩ = ∣ i ⟩ 1 ⊗ ∣ χ ⟩ 23 , ∣ χ ⟩ = 1 3 ∑ k = 0 2 ∣ k ⟩ ∣ k ⟩ (7.6.13) (\hat U_{12}\otimes\mathbf 1)| \tilde i \rangle =| i \rangle _1\otimes| \chi \rangle _{23},\qquad| \chi \rangle =\frac{1}{\sqrt3}\sum_{k=0}^2| k \rangle | k \rangle\tag{7.6.13} ( U ^ 12 ⊗ 1 ) ∣ i ~ ⟩ = ∣ i ⟩ 1 ⊗ ∣ χ ⟩ 23 , ∣ χ ⟩ = 3 1 k = 0 ∑ 2 ∣ k ⟩ ∣ k ⟩ ( 7.6.13 )
となる。論理状態は1番目の量子トリットに取り出され、2・3番目は論理状態によらない最大にもつれた状態 ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩
論理演算子 O ~ \tilde O O ~ O ^ \hat O O ^ O ^ 12 = U ^ 12 † ( O ^ ⊗ 1 ) U ^ 12 \hat O_{12}=\hat U_{12}^\dagger(\hat O\otimes\mathbf 1)\hat U_{12} O ^ 12 = U ^ 12 † ( O ^ ⊗ 1 ) U ^ 12 O ^ 23 \hat O_{23} O ^ 23 O ^ 31 \hat O_{31} O ^ 31 O ^ 12 P ^ = O ^ 23 P ^ = O ^ 31 P ^ = O ~ \hat O_{12}\hat P=\hat O_{23}\hat P=\hat O_{31}\hat P=\tilde O O ^ 12 P ^ = O ^ 23 P ^ = O ^ 31 P ^ = O ~ P ^ \hat P P ^ A , B , C A,B,C A , B , C
この符号には RT 公式の形も入っている。(7.6.13) から、論理状態 ρ ^ L \hat\rho_L ρ ^ L U ^ 12 † ( ρ ^ L ⊗ 1 / 3 ) U ^ 12 \hat U_{12}^\dagger(\hat\rho_L\otimes\mathbf 1/3)\hat U_{12} U ^ 12 † ( ρ ^ L ⊗ 1 /3 ) U ^ 12
S ( ρ ^ 12 ) = S ( ρ ^ L ) + ln 3 , S ( ρ ^ 3 ) = ln 3 (7.6.14) S(\hat\rho_{12})=S(\hat\rho_L)+\ln3,\qquad S(\hat\rho_3)=\ln3\tag{7.6.14} S ( ρ ^ 12 ) = S ( ρ ^ L ) + ln 3 , S ( ρ ^ 3 ) = ln 3 ( 7.6.14 )
である。ln 3 \ln3 ln 3 S ( ρ ^ L ) S(\hat\rho_L) S ( ρ ^ L ) (7.6.4) と同じ形になる（3番目の量子トリットの楔には論理系が入らないので、内部の項は 0 0 0 3 3 D. Harlow (2017), Commun. Math. Phys. 354 , 865。
例題 7.6.5 3量子トリット符号で再構成を確かめる ★★★
オリジナル 符号 (7.6.12) を使う。
(1) 参照系 R R R I ( R ; 1つの量子トリット ) I(R;\text{1つの量子トリット}) I ( R ; 1 つの量子トリット ) I ( R ; 2つの量子トリット ) I(R;\text{2つの量子トリット}) I ( R ; 2 つの量子トリット ) (2) U ^ 12 \hat U_{12} U ^ 12 (7.6.13) を確かめよ。(3) 論理的な X ~ : ∣ i ~ ⟩ ↦ ∣ i + 1 ~ ⟩ \tilde X:| \tilde i \rangle \mapsto| \widetilde{i+1} \rangle X ~ : ∣ i ~ ⟩ ↦ ∣ i + 1 ⟩ X ^ 12 \hat X_{12} X ^ 12 X ^ 23 \hat X_{23} X ^ 23 (4) 量子 Singleton 上界 n − k ≥ 2 ( d − 1 ) n-k\ge2(d-1) n − k ≥ 2 ( d − 1 ) 第3部第9章 。k k k
解答 (1) どの1つの量子トリットも縮約状態が論理状態によらず 1 / 3 \mathbf 1/3 1 /3 R R R 1 3 ⊗ 1 3 \frac{\mathbf 1}{3}\otimes\frac{\mathbf 1}{3} 3 1 ⊗ 3 1 I = 0 I=0 I = 0 R R R Q Q Q S ( R Q ) = S ( 残りの1つ ) = ln 3 S(RQ)=S(\text{残りの1つ})=\ln3 S ( R Q ) = S ( 残りの 1 つ ) = ln 3 S ( Q ) = S ( R と残りの1つ ) = 2 ln 3 S(Q)=S(R\,\text{と残りの1つ})=2\ln3 S ( Q ) = S ( R と残りの 1 つ ) = 2 ln 3 I ( R ; Q ) = ln 3 + 2 ln 3 − ln 3 = 2 ln 3 = 2 S ( R ) I(R;Q)=\ln3+2\ln3-\ln3=2\ln3=2S(R) I ( R ; Q ) = ln 3 + 2 ln 3 − ln 3 = 2 ln 3 = 2 S ( R )
(2) 写像 ( a , b ) ↦ ( b − a , 2 b − a ) (a,b)\mapsto(b-a,2b-a) ( a , b ) ↦ ( b − a , 2 b − a ) ( − 1 1 − 1 2 ) \left(\begin{smallmatrix}-1&1\\-1&2\end{smallmatrix}\right) ( − 1 − 1 1 2 ) − 1 ≢ 0 -1\not\equiv0 − 1 ≡ 0 ∣ i ~ ⟩ | \tilde i \rangle ∣ i ~ ⟩ ∣ j ⟩ ∣ j + i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩ | j \rangle | j+i \rangle | j+2i \rangle ∣ j ⟩ ∣ j + i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩ ( a , b ) = ( j , j + i ) (a,b)=(j,j+i) ( a , b ) = ( j , j + i ) ( b − a , 2 b − a ) = ( i , j + 2 i ) (b-a,2b-a)=(i,j+2i) ( b − a , 2 b − a ) = ( i , j + 2 i ) ( U ^ 12 ⊗ 1 ) ∣ i ~ ⟩ = ∣ i ⟩ ⊗ 1 3 ∑ j ∣ j + 2 i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩ = ∣ i ⟩ ⊗ ∣ χ ⟩ (\hat U_{12}\otimes\mathbf 1)| \tilde i \rangle =| i \rangle \otimes\frac{1}{\sqrt3}\sum_j| j+2i \rangle | j+2i \rangle =| i \rangle \otimes| \chi \rangle ( U ^ 12 ⊗ 1 ) ∣ i ~ ⟩ = ∣ i ⟩ ⊗ 3 1 ∑ j ∣ j + 2 i ⟩ ∣ j + 2 i ⟩ = ∣ i ⟩ ⊗ ∣ χ ⟩ j + 2 i j+2i j + 2 i k k k
(3) X ^ 12 = U ^ 12 † ( X ^ ⊗ 1 ) U ^ 12 ⊗ 1 3 \hat X_{12}=\hat U_{12}^\dagger(\hat X\otimes\mathbf 1)\hat U_{12}\otimes\mathbf 1_3 X ^ 12 = U ^ 12 † ( X ^ ⊗ 1 ) U ^ 12 ⊗ 1 3 X ^ 12 ∣ i ~ ⟩ = U ^ 12 † ∣ i + 1 ⟩ ∣ χ ⟩ = ∣ i + 1 ~ ⟩ \hat X_{12}| \tilde i \rangle =\hat U_{12}^\dagger| i+1 \rangle | \chi \rangle =| \widetilde{i+1} \rangle X ^ 12 ∣ i ~ ⟩ = U ^ 12 † ∣ i + 1 ⟩ ∣ χ ⟩ = ∣ i + 1 ⟩ X ^ 23 \hat X_{23} X ^ 23 ∣ i ~ ⟩ ↦ ∣ i + 1 ~ ⟩ | \tilde i \rangle \mapsto| \widetilde{i+1} \rangle ∣ i ~ ⟩ ↦ ∣ i + 1 ⟩ X ~ \tilde X X ~ X ^ 12 \hat X_{12} X ^ 12 X ^ 23 \hat X_{23} X ^ 23 ∣ 000 ⟩ | 000 \rangle ∣000 ⟩ X ^ 12 ≠ X ^ 23 \hat X_{12}\ne\hat X_{23} X ^ 12 = X ^ 23 X ^ 12 P ^ = X ^ 23 P ^ \hat X_{12}\hat P=\hat X_{23}\hat P X ^ 12 P ^ = X ^ 23 P ^
(4) n = 3 n=3 n = 3 k = 1 k=1 k = 1 d = 2 d=2 d = 2 n − k = 2 = 2 ( d − 1 ) n-k=2=2(d-1) n − k = 2 = 2 ( d − 1 ) 7.6.5 節の完全テンソルも同じ性質を持つ。
1 A. Almheiri, X. Dong, D. Harlow (2015), JHEP 04 , 163。
2 R. Cleve, D. Gottesman, H.-K. Lo (1999), Phys. Rev. Lett. 83 , 648 の量子秘密分散の符号。
3 D. Harlow (2017), Commun. Math. Phys. 354 , 865。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
