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当てる D の性質：一般化エントロピーと量子極値曲面

2026年10月15日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第7部 第7章 島の公式と Page 曲線の半古典的な導出
目次
  1. 一般化エントロピー
  2. D の単調性と一般化第二法則
  3. 量子極値曲面
  4. JLMS の関係：D はエンタングルメント・ウェッジで測られる
  5. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第7章 §7.7.2　★★★ D の単調性から一般化第二法則が導かれ、JLMS の関係から「境界の D＝エンタングルメント・ウェッジの D」が導かれる。その2つを合わせると、エントロピーを一般化エントロピーの極値で測る規則になる

一般化エントロピー

定義 7.7.1（一般化エントロピー）

時空の中の余次元2の曲面 X\mathcal X（4次元の時空なら2次元の面）と、それを境界とする空間の領域 ΣX\Sigma_{\mathcal X} について

Sgen(X)=A(X)4ℓP2+Sbulk(ΣX)(7.7.6)S_{\mathrm{gen}}(\mathcal X)=\frac{A(\mathcal X)}{4\ell_{\mathrm P}^2}+S_{\mathrm{bulk}}(\Sigma_{\mathcal X})\tag{7.7.6}

を一般化エントロピーと呼ぶ。A(X)A(\mathcal X) は曲面の面積、Sbulk(ΣX)S_{\mathrm{bulk}}(\Sigma_{\mathcal X}) は領域 ΣX\Sigma_{\mathcal X} の量子場の von Neumann エントロピーである。

地平面に当てはめれば、第1項がブラックホールのエントロピー、第2項が地平面の外の物質のエントロピーで、Bekenstein の一般化第二法則が扱った量そのものになる。

2つの項は、それぞれ単独では意味が定まらない。第5部第1章（第5部第1章）で見たとおり、場の真空を領域で切るとエンタングルメント・エントロピーは境界の近くの短い波長のもつれのために発散し、その発散は境界の面積に比例する（面積則）。L. Susskind と J. Uglum は、この発散が重力定数 GG のくりこみに吸収され、1/(4ℓP2)1/(4\ell_{\mathrm P}^2) の係数をくりこんだ値で書けば和 SgenS_{\mathrm{gen}} は有限になることを示した1L. Susskind, J. Uglum (1994), Physical Review D 50, 2700。下の脚注へ。物理的に意味があるのは和だけで、面積の項と場の項の分け方は切断の選び方によって変わる。

D の単調性と一般化第二法則

第7部第1章（定理 7.1.1）で見た A. C. Wall の一般化第二法則の証明は、この章の道具の出発点になる。地平面の外の領域の場の状態 ρ^ext(t)\hat\rho_{\mathrm{ext}}(t) と、同じ領域に制限した真空 σ^ext(t)\hat\sigma_{\mathrm{ext}}(t) を比べる。時刻が進むと外の領域は小さくなる（領域を狭めることは部分トレースで、量子チャネルである）ので、量子データ処理不等式（第3部第3章）により

D(ρ^ext(t2) ∥ σ^ext(t2))≤D(ρ^ext(t1) ∥ σ^ext(t1))(t1<t2)(7.7.7)D\bigl(\hat\rho_{\mathrm{ext}}(t_2)\,\big\|\,\hat\sigma_{\mathrm{ext}}(t_2)\bigr)\le D\bigl(\hat\rho_{\mathrm{ext}}(t_1)\,\big\|\,\hat\sigma_{\mathrm{ext}}(t_1)\bigr)\qquad(t_1<t_2)\tag{7.7.7}

である。左右の D を D=Δ⟨K^⟩−ΔSbulkD=\Delta\langle \hat K \rangle -\Delta S_{\mathrm{bulk}}（第1章の式 (7.1.8)。K^=−ln⁡σ^\hat K=-\ln\hat\sigma は真空のモジュラー Hamiltonian）と分けると、地平面のモジュラー Hamiltonian の変化は地平面に流れ込むエネルギーで、そのエネルギーは Einstein 方程式を通じて地平面の面積の変化 ΔA/(4ℓP2)\Delta A/(4\ell_{\mathrm P}^2) に等しい（第1章の式 (7.1.18)）。こうして式 (7.7.7) は ΔSgen≥0\Delta S_{\mathrm{gen}}\ge0 と同じ内容になる。D の単調性が面積と場のエントロピーを1つにまとめる、という点が大事である。相対エントロピーを使って重力の側のエントロピーを測ると、自然に一般化エントロピーが出てくる。第1章の Sgen=SBH+S外S_{\mathrm{gen}}=S_{\mathrm{BH}}+S_{\text{外}}（式 (7.1.1)）は、この章の SbulkS_{\mathrm{bulk}} を地平面の外の領域に取った場合である。

量子極値曲面

第7部第6章では、ホログラフィー（AdS/CFT）の境界の領域 BB のエンタングルメント・エントロピーが、内部の極小曲面の面積で与えられるRyu–Takayanagi 公式（定理 7.6.3）を見た。場の量子的なエントロピーを含めると、規則は次の形に一般化される。

命題 7.7.2（量子極値曲面の規則 ★★★）

境界の領域 BB の von Neumann エントロピーは、BB の端につながるすべての曲面 X\mathcal X のうち、Sgen(X)S_{\mathrm{gen}}(\mathcal X) を停留させるもの（量子極値曲面）の中でSgenS_{\mathrm{gen}} が最小のもので与えられる：

S(B)=min⁡X ext⁡X[A(X)4ℓP2+Sbulk(ΣX)].(7.7.8)S(B)=\min_{\mathcal X}\ \operatorname*{ext}_{\mathcal X}\Bigl[\frac{A(\mathcal X)}{4\ell_{\mathrm P}^2}+S_{\mathrm{bulk}}(\Sigma_{\mathcal X})\Bigr].\tag{7.7.8}

停留は曲面を空間の向きにも時間の向きにも動かしたときの1次の変化が 0 になることをいい、典型的には空間の向きに最小、時間の向きに最大になる。曲面 X\mathcal X と境界の BB の間の領域を BB のエンタングルメント・ウェッジと呼び、EW(B)\mathrm{EW}(B) と書く。

この規則は N. Engelhardt と A. C. Wall が提案した2N. Engelhardt, A. C. Wall (2015), Journal of High Energy Physics 2015(01), 073。ℓP2\ell_{\mathrm P}^2 の1次までの補正（面積の極値曲面に SbulkS_{\mathrm{bulk}} を足す形）は T. Faulkner, A. Lewkowycz, J. Maldacena (2013), Journal of High Energy Physics 2013(11), 074 による。下の脚注へ。SbulkS_{\mathrm{bulk}} を落とせば Ryu–Takayanagi 公式（の時間に依存する版）に戻る。導出の要は 7.7.5 節のレプリカの計算で、ここでは結果として使う。

JLMS の関係：D はエンタングルメント・ウェッジで測られる

第7部第6章の JLMS の等式（定理 7.6.1・式 (7.6.7)）3D. L. Jafferis, A. Lewkowycz, J. Maldacena, S. J. Suh (2016), Journal of High Energy Physics 2016(06), 004。下の脚注へは、同じ量子極値曲面を共有する（同じ符号部分空間の）2つの状態 ρ^\hat\rho、σ^\hat\sigma について、境界の領域 BB の相対エントロピーが

D(ρ^B ∥ σ^B)=D(ρ^EW(B)bulk ∥ σ^EW(B)bulk)(7.7.9)D(\hat\rho_B\,\|\,\hat\sigma_B)=D\bigl(\hat\rho^{\mathrm{bulk}}_{\mathrm{EW}(B)}\,\big\|\,\hat\sigma^{\mathrm{bulk}}_{\mathrm{EW}(B)}\bigr)\tag{7.7.9}

に等しい、というものだった。この関係は、境界のモジュラー Hamiltonian K^B=−ln⁡σ^B\hat K_B=-\ln\hat\sigma_B が、内部の面積の演算子と場のモジュラー Hamiltonian の和K^B=A^/(4ℓP2)+K^bulk\hat K_B=\hat A/(4\ell_{\mathrm P}^2)+\hat K_{\mathrm{bulk}} になることから導かれる。D=Δ⟨K^⟩−ΔSD=\Delta\langle \hat K \rangle -\Delta S の面積の分は Δ⟨K^⟩\Delta\langle \hat K \rangle と、式 (7.7.8) で書いた ΔS\Delta S の両方に同じだけ現れて打ち消し合い、場の分だけが残る。この等式から、エンタングルメント・ウェッジの中の場の演算子は境界の BB の演算子で再構成できる（X. Dong、D. Harlow、A. C. Wall4X. Dong, D. Harlow, A. C. Wall (2016), Physical Review Letters 117, 021601。下の脚注へ）。量子データ処理不等式で読めば、BB から見分けられるものと EW(B)\mathrm{EW}(B) の中で見分けられるものが一致する、ということである。この章では式 (7.7.9) を、どの領域にある日記なら BB から読み出せるかの判定に使う。

例題 7.7.2　静的なブラックホールの量子極値曲面はほとんど動かない ★★

オリジナル太陽質量（M=1.989×1030 kgM=1.989\times10^{30}\,\mathrm{kg}）の Schwarzschild ブラックホールの時間対称な空間の断面を考える。地平面（Einstein–Rosen 橋の喉）からの固有の距離を ρ\rho とし、半径 rr の球面の面積を A=4πr2A=4\pi r^2 とする。地平面の外の場のエントロピーは、曲面を外へ ρ\rho だけずらすと Sbulk≈S0−σρ/rsS_{\mathrm{bulk}}\approx S_0-\sigma\rho/r_{\mathrm s}（σ\sigma は1程度の数）と変わるとする。

  1. (1) 喉の近くで r≈rs+ρ2/(4rs)r\approx r_{\mathrm s}+\rho^2/(4r_{\mathrm s}) を示し、A(ρ)≈4πrs2+2πρ2A(\rho)\approx4\pi r_{\mathrm s}^2+2\pi\rho^2 を導け。
  2. (2) Sgen(ρ)S_{\mathrm{gen}}(\rho) の停留点 ρ∗\rho_* と、そこでの SgenS_{\mathrm{gen}} の下がりを求め、σ=1\sigma=1 で数値を出せ。
解答

(1) 時間対称な断面の線素は dr2/(1−rs/r)+r2(dθ2+sin⁡2θ dφ2)\mathrm{d} r^2/(1-r_{\mathrm s}/r)+r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2) なので、固有の距離は dρ=dr/1−rs/r\mathrm{d}\rho=\mathrm{d} r/\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r} である。r=rs+δr=r_{\mathrm s}+\delta（δ≪rs\delta\ll r_{\mathrm s}）では 1−rs/r≈δ/rs1-r_{\mathrm s}/r\approx\delta/r_{\mathrm s} で、dρ≈rs/δ dδ\mathrm{d}\rho\approx\sqrt{r_{\mathrm s}/\delta}\,\mathrm{d}\delta を積分してρ=2rsδ\rho=2\sqrt{r_{\mathrm s}\delta}、すなわち δ=ρ2/(4rs)\delta=\rho^2/(4r_{\mathrm s})。面積は 4π(rs+δ)2≈4πrs2+8πrsδ=4πrs2+2πρ24\pi(r_{\mathrm s}+\delta)^2\approx4\pi r_{\mathrm s}^2+8\pi r_{\mathrm s}\delta=4\pi r_{\mathrm s}^2+2\pi\rho^2 になる。喉で面積が最小になる（1次の項が無い）ことが、古典的な極値曲面が地平面であることの表れである。

(2) Sgen(ρ)=πrs2/ℓP2+πρ2/(2ℓP2)+S0−σρ/rsS_{\mathrm{gen}}(\rho)=\pi r_{\mathrm s}^2/\ell_{\mathrm P}^2+\pi\rho^2/(2\ell_{\mathrm P}^2)+S_0-\sigma\rho/r_{\mathrm s} を ρ\rho で微分して 0 とおくと

ρ∗=σℓP2πrs,Sgen(ρ∗)−Sgen(0)=−σ2ℓP22πrs2.\rho_*=\frac{\sigma\ell_{\mathrm P}^2}{\pi r_{\mathrm s}},\qquad S_{\mathrm{gen}}(\rho_*)-S_{\mathrm{gen}}(0)=-\frac{\sigma^2\ell_{\mathrm P}^2}{2\pi r_{\mathrm s}^2}.

rs=2GM/c2=2954 mr_{\mathrm s}=2GM/c^2=2954\,\mathrm m、ℓP2=2.612×10−70 m2\ell_{\mathrm P}^2=2.612\times10^{-70}\,\mathrm{m^2} から、σ=1\sigma=1 で ρ∗=2.81×10−74 m\rho_*=2.81\times10^{-74}\,\mathrm m（ρ∗/rs=9.5×10−78\rho_*/r_{\mathrm s}=9.5\times10^{-78}）、SgenS_{\mathrm{gen}} の下がりは 10−7710^{-77} の程度で、面積の項 πrs2/ℓP2=1.05×1077\pi r_{\mathrm s}^2/\ell_{\mathrm P}^2=1.05\times10^{77} に比べて無視することができる。場の項の勾配が1程度なら、量子極値曲面は古典的な極値曲面から ℓP2/rs\ell_{\mathrm P}^2/r_{\mathrm s} の程度しか動かない。曲面が大きく動くのは、場の項の勾配が面積の項と同じ A/ℓP2A/\ell_{\mathrm P}^2 の大きさになるときに限られる。Page 時間の後の放射がまさにその場合で、次の節で扱う。

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの ℓP2/A→0\ell_{\mathrm P}^2/A\to0（曲面の面積が Planck 面積に比べて大きい。重力を古典、場を量子で扱う半古典近似）　｜　証明 要確認（SgenS_{\mathrm{gen}} の極値の規則は ℓP2\ell_{\mathrm P}^2 の展開の主要項として導かれ、高次の補正の評価は一般には無い）　｜　行き先 近似の数理 第7章

ほかの巻では

1　L. Susskind, J. Uglum (1994), Physical Review D 50, 2700。

2　N. Engelhardt, A. C. Wall (2015), Journal of High Energy Physics 2015(01), 073。ℓP2\ell_{\mathrm P}^2 の1次までの補正（面積の極値曲面に SbulkS_{\mathrm{bulk}} を足す形）は T. Faulkner, A. Lewkowycz, J. Maldacena (2013), Journal of High Energy Physics 2013(11), 074 による。

3　D. L. Jafferis, A. Lewkowycz, J. Maldacena, S. J. Suh (2016), Journal of High Energy Physics 2016(06), 004。

4　X. Dong, D. Harlow, A. C. Wall (2016), Physical Review Letters 117, 021601。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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