出てくるもの2：面積定理と Penrose 過程

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第19章 §2.19.4　★★★ 古典的な過程で地平面の面積は減らない（第二法則）。この制約のもとで回転のエネルギーは $Mc^2-M_{\mathrm{irr}}c^2$ まで取り出せる

面積定理

2.19.3節では、試験粒子を1つ落とす場合に $\delta A\ge0$ を見た。Hawking（1971、Physical Review Letters 26、1344）は、これをはるかに一般の状況で示した。ブラックホールどうしの合体や、重力波の放出を伴う激しい過程でも、

$$\delta A\ge0\tag{2.19.21}$$

が成り立つ。これが面積定理で、熱力学の第二法則「孤立系のエントロピーは減らない」と同じ形をしている。

証明は書かず、筋だけ述べる。地平面は光線（光的測地線）の束でできている。束の断面積の変化率（膨張率）を $\theta_{\mathrm{exp}}$ とすると、Raychaudhuri の方程式と Einstein 方程式から、物質が光的エネルギー条件 $T_{\mu\nu}k^\mu k^\nu\ge0$（$k^\mu$ は任意の光的ベクトル）を満たす限り、$\theta_{\mathrm{exp}}$ は光線に沿って減る一方で、いったん負になると有限の距離で $-\infty$ に達し、光線どうしが交わる。地平面の生成子がそうなると、交わった先の光線は地平面から外れてしまい、地平面が「戻れない境界」であることと矛盾する。したがって地平面の上で $\theta_{\mathrm{exp}}\ge0$ で、面積は減らない。この議論では、特異点が地平面に隠されていること（宇宙検閲）も仮定に入る。2つの仮定のうち光的エネルギー条件は、量子効果で破れうる。第5部第12章の Hawking 放射でブラックホールが蒸発するとき、面積は実際に減る。その場合の第二法則の拡張（一般化第二法則）は相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部第1章で扱う。

Penrose 過程

面積が減らないという制約のもとで、ブラックホールからエネルギーを取り出せるだろうか。Penrose（1969、Rivista del Nuovo Cimento 1（特別号）、252）は、エルゴ領域を使えば取り出せることを示した。鍵はエルゴ領域で $\xi_{(t)}$ が空間的になることである。遠方では未来向きの4元運動量について $E=cp_0>0$ だが、$\xi_{(t)}$ が空間的な場所では、未来向きの $p^\mu$ でも $E=c\,\xi_{(t)}^\mu p_\mu<0$ となりうる。

手順は次のとおりである（図 2.19.2）。遠方からエネルギー $E_0$ の物体を投げ入れ、エルゴ領域の中で2つの破片に分ける。エネルギーの保存（式 (2.19.7) の $E$ は保存量なので分裂の前後で和が保たれる）から $E_0=E_1+E_2$ である。破片1を $E_1<0$ の軌道に乗せて地平面へ落とし、破片2を遠方へ脱出させると、戻ってくるエネルギーは $E_2=E_0-E_1>E_0$ になる。差 $-E_1$ はブラックホールの質量の減少 $c^2\delta M=E_1<0$ でまかなわれる。

図 2.19.2　Penrose 過程の模式図（赤道面を上から見た図）。エルゴ領域で物体を2つに分け、負のエネルギーの破片（破線）を地平面に落とすと、脱出する破片は投げ入れたより大きなエネルギーを持ち帰る。

負のエネルギーの破片にも制約がある。式 (2.19.20) から、地平面を越える破片は $E_1\ge\Omega_{\mathrm H}L_{z,1}$ を満たさなければならない。$E_1<0$ なら $L_{z,1}<0$、つまり破片1はブラックホールの回転と逆向きの角運動量を持ち込む。ブラックホールは質量とともに角運動量を失い、回転が遅くなる。取り出しているのは回転のエネルギーである。

どこまで取り出せるかは、面積定理と Christodoulou の式 (2.19.16) で決まる。面積は減らないので $M_{\mathrm{irr}}$ も減らない。式 (2.19.16) の右辺第2項は非負なので $M\ge M_{\mathrm{irr}}$ で、可逆な過程（$\delta A=0$）で $J$ を $0$ まで減らしたときに $M$ は最小値 $M_{\mathrm{irr}}$ に達する。したがって取り出せるエネルギーの上限は

$$\bigl(M-M_{\mathrm{irr}}\bigr)c^2,\qquad \frac{M_{\mathrm{irr}}}{M}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-a_\ast^2}}{2}}\tag{2.19.22}$$

である。既約質量という名前は、どんな古典的な操作でもこれ以下には減らせないことによる。極限 Kerr（$a_\ast=1$）では $M_{\mathrm{irr}}=M/\sqrt2$ で、質量エネルギーの $1-1/\sqrt2=29.3\%$ が回転のエネルギーとして取り出しうる。図 2.19.3 にこの割合をスピンの関数として示す。

試験粒子の扱いでは、破片の重力がブラックホールの計量を変えることを無視している。$E$ と $L_z$ を保存量として使えるのは、計量が Kerr のままで Killing ベクトルを持ち続けるからで、破片の質量 $m$ がブラックホールの質量 $M$ に比べて小さい極限の話である。面積定理そのものはこの近似に頼らずに成り立つので、取り出せる量の上限 (2.19.22) は近似に依存しない。