出てくるもの3：第三法則と4法則の対応表

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第19章 §2.19.5　★★ 極限 Kerr で $\kappa=0$ になる。4法則を熱力学と並べると $\kappa\leftrightarrow T$、$A\leftrightarrow S$ の対応が見え、係数は $\hbar$ を入れて初めて決まる

第三法則

式 (2.19.11) は $a_\ast\to1$ で $r_+=r_-$ となって $\kappa\to0$ になる。極限 Kerr は表面重力が $0$ のブラックホールである。図 2.19.3 に、$\kappa$ と $\Omega_{\mathrm H}$ がスピンとともにどう変わるかを示す。$\kappa$ は $a_\ast$ が1に近づくと急に落ちる。

図 2.19.3　同じ質量で比べた Kerr ブラックホールの表面重力 $\kappa$（実線）、地平面の角速度 $\Omega_{\mathrm H}$（破線）、取り出しうる回転のエネルギーの割合 $1-M_{\mathrm{irr}}/M$（一点鎖線）。すべて厳密な式 (2.19.11)・(2.19.6)・(2.19.22) の値。$a_\ast\to1$ で $\kappa\to0$、$\Omega_{\mathrm H}\to c/(2r_{\mathrm g})$、割合 $\to0.293$。

Bardeen・Carter・Hawking は、熱力学の第三法則（有限回の操作で絶対零度に達することはできない）にならって、「有限回の操作で $\kappa=0$ にすることはできない」を第三法則として挙げた。Israel（1986、Physical Review Letters 57、397）は、物質が弱いエネルギー条件を満たし、変化が連続であるなどの前提のもとで、極限でないブラックホールが有限の時間で極限になれないことを示した。ただしこの法則は他の3つほど強くない。Kehle と Unger（2022、arXiv:2211.15742）は、荷電したスカラー場を落とし込む過程で、有限の時間に極限ブラックホールができる例を構成した。第三法則は、前提を明示して初めて成り立つ主張である。

熱力学の第三法則には、もう1つの言い方「$T\to0$ でエントロピーが $0$（または定数）に近づく」（Nernst–Planck の形）がある。ブラックホールではこちらが成り立たない。極限 Kerr の面積は $A=8\pi r_{\mathrm g}^2$ で、同じ質量の Schwarzschild の半分あり、$0$ にならない。

4法則を並べる

ここまでの結果を熱力学と並べると、表 2.19.1 になる。

対応は $Mc^2\leftrightarrow U$、$\kappa\leftrightarrow T$、$A\leftrightarrow S$ である。ただし古典論の範囲では、これは形が同じというだけにとどまる。理由は3つある。第一に、古典的なブラックホールは何も放出しないので、温度 $0$ の物体のように振る舞い、$\kappa$ に比例する温度を持つとは考えにくい。第二に、$\kappa$ と $A$ の比例係数が決まらない。第一法則の組み合わせ $\frac{\kappa c^2}{8\pi G}\delta A$ は、$T=\alpha\kappa$、$S=\frac{c^2}{8\pi G\alpha}A$ のどの $\alpha$ でも書き直せる。第三に、次元を合わせるには $k_{\mathrm B}$ のほかに作用の次元を持つ定数が要るが、古典の一般相対論には $G$ と $c$ しかない。

Bekenstein（1973、Physical Review D 7、2333）は、ブラックホールに物を落とすと外の世界のエントロピーが消えて見えることから、面積に比例するエントロピーをブラックホールに持たせるべきだと考えた。係数を決めたのは Hawking（1975、Communications in Mathematical Physics 43、199）の量子論の計算で、ブラックホールは温度

$$T_{\mathrm H}=\frac{\hbar\kappa}{2\pi c k_{\mathrm B}}\tag{2.19.23}$$

の熱放射を出す。第5部第12章でこの式を導く。これを認めると、第一法則の $\frac{\kappa c^2}{8\pi G}\delta A=T_{\mathrm H}\delta S_{\mathrm{BH}}$ から

$$S_{\mathrm{BH}}=\frac{ k_{\mathrm B} c^3A}{4G\hbar}\tag{2.19.24}$$

が決まる（$\alpha=\hbar/(2\pi c k_{\mathrm B})$）。この章の4法則は、$\hbar$ を入れると本物の熱力学の法則として読める。「温度とエントロピーは比喩か本物か」という問いの答えは第5部第12章に、$S_{\mathrm{BH}}$ が何を数えているかという問いは相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部第1章に渡す。