授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第19章 §2.19.6　★★ 熱力学の授業の $\mathrm{d} U=T\mathrm{d} S+\Omega\mathrm{d} J$・Euler の関係・Nernst の定理と、ブラックホールの第一法則・Smarr の公式・極限 Kerr を式で並べる

第一法則と自然な変数

熱力学の授業では、内部エネルギーを自然な変数 $(S,V,N)$ の関数とみなし

$$\mathrm{d} U=T\mathrm{d} S-P\mathrm{d} V+\mu\mathrm{d} N,\qquad T=\frac{\partial U}{\partial S}\Bigr|_{V,N}\tag{2.19.25}$$

と書く。回転する物体では、角運動量 $J$ と角速度 $\Omega$ の組が加わって $\mathrm{d} U=T\mathrm{d} S+\Omega\mathrm{d} J$ となる（体積と粒子数を固定した場合）。ブラックホールでこれに対応するのは式 (2.19.17) の $Mc^2(A,J)$ で、

$$c^2\delta M=\frac{\kappa c^2}{8\pi G}\delta A+\Omega_{\mathrm H}\delta J,\qquad \frac{\kappa c^2}{8\pi G}=\frac{\partial (Mc^2)}{\partial A}\Bigr|_J,\quad \Omega_{\mathrm H}=\frac{\partial (Mc^2)}{\partial J}\Bigr|_A$$

である。ブラックホールには体積と粒子数に当たる変数がなく、状態は $(A,J)$（電荷を入れれば $Q$ も）だけで決まる。授業で「状態方程式」として個別に与えられていた $T(S,V)$ や $P(S,V)$ に対応するのは、一般相対論の解 (2.19.1) から決まる $\kappa(A,J)$・$\Omega_{\mathrm H}(A,J)$ である。

Euler の関係と Smarr の公式

授業の熱力学では、$U(S,V,N)$ が示量変数について1次の同次関数 $U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)=\lambda U(S,V,N)$ であることから、Euler の同次関数の定理によって

$$U=TS-PV+\mu N\tag{2.19.26}$$

が導かれる（Euler の関係）。系を $\lambda$ 倍に複製すると、エネルギーもエントロピーも体積も $\lambda$ 倍になるからである。

ブラックホールでは事情が違う。長さの単位を $\lambda$ 倍に取り替えると、$r_{\mathrm g}=GM/c^2$ と $a=J/(Mc)$ がともに $\lambda$ 倍になる解が得られるので、$M\to\lambda M$、$J\to\lambda^2J$、$A\to\lambda^2A$ と変わる。つまり $M(A,J)$ は

$$M(\lambda^2A,\lambda^2J)=\lambda\,M(A,J)\tag{2.19.27}$$

を満たす。これを $\lambda$ で微分して $\lambda=1$ と置くと $2A\,\partial M/\partial A+2J\,\partial M/\partial J=M$ で、偏微分を第一法則の係数で書き直すと

$$Mc^2=\frac{\kappa c^2A}{4\pi G}+2\Omega_{\mathrm H}J\tag{2.19.28}$$

を得る。Smarr（1973、Physical Review Letters 30、71）の公式で、Euler の関係 (2.19.26) のブラックホール版である。係数の2は、ブラックホールの $M$ が $A$ と $J$ について1次でなく $1/2$ 次の同次関数であることによる。エネルギーが面積に比例しない（半径に比例する）ので、ブラックホールは示量的な系ではない。Schwarzschild では $Mc^2=\kappa c^2A/(4\pi G)=2T_{\mathrm H}S_{\mathrm{BH}}$ で、普通の物質の $U=TS-PV$ とは係数が違う形になる。

第三法則

授業の第三法則（Nernst–Planck の定理）は「$T\to0$ で $S\to0$」で、ここから「有限回の操作で $T=0$ に達しない」が導かれる。ブラックホールでは前者が成り立たず（極限 Kerr の面積は有限）、後者に当たる形だけを第三法則として立てる。この違いは、ブラックホールの $S_{\mathrm{BH}}$ が普通の物質のエントロピーとどこまで同じものかという問いに直結し、相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部第1章で扱う。

Newton の重力との対応

授業の力学では、半径 $R$、質量 $M$ の星の表面重力を $GM/R^2$、脱出速度を $\sqrt{2GM/R}$ と習う。脱出速度が $c$ になる半径は $R=2GM/c^2=r_{\mathrm s}$ で、その表面重力は $GM/r_{\mathrm s}^2=c^4/(4GM)$ である。どちらも Schwarzschild の $r_{\mathrm s}$ と $\kappa$ に一致するが、意味は違う。Newton の星の表面では光は（減速しながら）逃げられるし、表面重力は表面に立つ人が感じる加速度である。一般相対論の $\kappa$ は、地平面のすぐ外の観測者が感じる加速度（発散する）に赤方偏移の因子をかけたもので、遠方から測った量である（式 (2.19.13)）。