当てる道具：Killing ベクトルの保存量と表面重力

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第19章 §2.19.2　★★★ 計量の対称性に Noether を当てるとエネルギーと角運動量が保存し、地平面の Killing ベクトルの「加速度」が表面重力 $\kappa$ になる

粒子のエネルギーと角運動量

第2部第12章で、曲がった時空の粒子の Lagrangian を $L=-mc\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}$ と選び、その Euler–Lagrange 方程式が測地線方程式になることを見た。Kerr 計量 (2.19.1) は $x^0$ と $\varphi$ を含まないので、$x^0$ と $\varphi$ は循環座標で、対応する正準運動量が保存する。固有時で径数付けると$\partial L/\partial\dot x^\mu=-mg_{\mu\nu}u^\nu=-p_\mu$ なので、保存するのは $p_0$ と $p_\varphi$ である。平坦な時空での値と比べて名前を付けると、

$$E=c\,p_0=c\,\xi_{(t)}^\mu p_\mu,\qquad L_z=-p_\varphi=-\xi_{(\varphi)}^\mu p_\mu\tag{2.19.7}$$

がそれぞれ遠方で測ったエネルギーと回転軸まわりの角運動量になる。平坦な時空では $p_0=E/c$、$p_\varphi=g_{\varphi\varphi}p^\varphi=-mr^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$ なので、式 (2.19.7) は確かに普通のエネルギーと角運動量に戻る。符号の流儀 $(+,-,-,-)$ では、共変成分 $p_\varphi$ の前に負号が付く所に注意する。第1部第10章の Noether の定理の言葉で言えば、時間の並進対称性からエネルギーが、軸まわりの回転対称性から角運動量が出ている。

この2つの量は、粒子がブラックホールに落ちたときの $M$ と $J$ の変化を決める。遠方から見た系全体のエネルギーと角運動量は保存するので、粒子が地平面を越えると、ブラックホールの質量と角運動量は

$$c^2\delta M=E,\qquad \delta J=L_z\tag{2.19.8}$$

だけ変わる。ここで粒子はブラックホールの計量をほとんど変えないほど軽い（試験粒子）とし、$\delta$ は近くの Kerr 解へのずらしを表す。

表面重力

地平面の Killing ベクトル $\chi$ は地平面の上で光的で、その積分曲線は地平面を作る光線そのものである。光線は測地線なので、$\chi$ に沿った $\chi$ の変化は $\chi$ 自身に比例する：

$$\chi^\nu\nabla_\nu\chi^\mu=\bar\kappa\,\chi^\mu\qquad(\text{地平面の上}).\tag{2.19.9}$$

比例係数 $\bar\kappa$ は長さの逆数の次元を持つ。$\kappa=c^2\bar\kappa$ を表面重力と呼ぶ（加速度の次元）。$\chi$ は Killing ベクトルなので、式 (2.19.9) は

$$\bar\kappa^2=-\frac12(\nabla_\mu\chi_\nu)(\nabla^\mu\chi^\nu)\Bigr|_{\text{地平面}}\tag{2.19.10}$$

とも書ける。Christoffel 記号は計量の全体の符号を変えても変わらないので、式 (2.19.9) は計量の流儀によらない。式 (2.19.10) も、添字の下がった因子と上がった因子が1つずつ符号を変えるので、$(-,+,+,+)$ の教科書（Wald など）と同じ形になる。この章の検算（verify_ch2-19.py）では、Schwarzschild を地平面で正則な Eddington–Finkelstein 座標$\mathrm{d} s^2=(1-r_{\mathrm s}/r)(\mathrm{d} x^0)^2-2\mathrm{d} x^0\mathrm{d} r-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$ で書き、$\chi=\partial/\partial x^0$ について $\chi^\nu\nabla_\nu\chi^\mu=\Gamma^\mu{}_{00}$ が $r=r_{\mathrm s}$ で $(1/(2r_{\mathrm s}))\chi^\mu$ になることを確かめた。Kerr については式 (2.19.10) を $r\to r_+$ の極限で数値的に評価し、結果が

$$\kappa=\frac{c^2(r_+-r_-)}{2(r_+^2+a^2)}=\frac{c^2\sqrt{r_{\mathrm g}^2-a^2}}{2r_{\mathrm g}r_+}\tag{2.19.11}$$

に $\theta$ によらず一致することを確かめた。$a=0$ では $\kappa=c^2/(2r_{\mathrm s})=c^4/(4GM)$ である。

表面重力の意味：赤方偏移をかけた加速度

定義 (2.19.9) は幾何の式だが、Schwarzschild では次の物理的な意味を持つ。半径 $r$ に止まっている観測者は、落ちないためにロケットを噴かす必要があり、その固有加速度（観測者自身が加速度計で測る値）は

$$\lvert a\rvert =\frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}}\tag{2.19.12}$$

である。これは4元速度 $u^\mu=(c/\sqrt{g_{00}},0,0,0)$ の加速度 $u^\nu\nabla_\nu u^\mu$ の $r$ 成分 $c^2\Gamma^r{}_{00}/g_{00}=GM/r^2$ に、固有の長さへの換算 $\sqrt{-g_{rr}}$ をかけて得られる。地平面に近づくと $\lvert a\rvert$ は発散する。ところが、この観測者を遠方から無質量の糸で吊るすとき、遠方の人が糸を引く力は、重力赤方偏移の因子 $V=\sqrt{g_{00}}=\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}$ の分だけ小さく見える（局所で測ったエネルギーは遠方では $V$ 倍に見える。第2部第11章）。その積は

$$V\lvert a\rvert =\frac{GM}{r^2}\ \xrightarrow{\ r\to r_{\mathrm s}\ }\ \frac{GM}{r_{\mathrm s}^2}=\frac{c^4}{4GM}=\kappa\tag{2.19.13}$$

と有限の値に近づき、それが表面重力に一致する。「地平面のすぐ外で物を支えるのに、遠方から加えるべき単位質量あたりの力」が $\kappa$ である。Newton の重力で半径 $r_{\mathrm s}$ の星の表面重力を計算した $GM/r_{\mathrm s}^2$ と同じ式になるのは、Schwarzschild 座標の $r$ の選び方による一致で、回転していると式 (2.19.11) のように Newton の式からずれる。

地平面の近くの計量を見ると、この $\kappa$ がもう1つの顔を持つことが分かる。第2部第17章の式 (2.17.28) で、地平面からの固有距離 $\rho=2\sqrt{r_{\mathrm s}(r-r_{\mathrm s})}$ を使ってSchwarzschild 計量を $\rho$ の最低次まで展開した。$x^0=ct$ で書き直すと

$$\mathrm{d} s^2\approx(\bar\kappa\rho)^2(\mathrm{d} x^0)^2-\mathrm{d}\rho^2-r_{\mathrm s}^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2),\qquad \bar\kappa=\frac{1}{2r_{\mathrm s}}\tag{2.19.14}$$

である。最初の2項は、第2部第11章の Rindler 座標 $\mathrm{d} s^2=(g\xi/c^2)^2c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d}\xi^2$ で $g$ を $\kappa$ に置き換えたものである。地平面のすぐ外は、加速度 $\kappa$ の一様加速系と見分けがつかない。この観察は第5部第12章で、一様加速系の観測者が真空を温度 $\hbar a/(2\pi c k_{\mathrm B})$ の熱浴として感じる Unruh 効果を経由して、Hawking 温度 $\hbar\kappa/(2\pi c k_{\mathrm B})$ を出す道筋になる。