当てる道具：対の平均場と Bogoliubov 変換

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第4章 §5.4.2　★★★ 対の期待値 $\Delta$ を平均場として置くと、$H$ は $\bm{k}$ ごとの $2\times2$ 行列になる。対角化すると準粒子のエネルギー $E_{\bm{k}}=\sqrt{\xi_{\bm{k}}^2+\Delta^2}$ が出て、Fermi 面にギャップ $\Delta$ が開く

対の平均場

多数の対が重なり合っている状態では、対の消滅演算子 $c_{-\bm{k}\downarrow}c_{\bm{k}\uparrow}$ の期待値

$$b_{\bm{k}}\equiv\langle c_{-\bm{k}\downarrow}c_{\bm{k}\uparrow} \rangle$$

が $0$ でない値をとると考える。粒子数を2個減らす演算子の期待値が $0$ でないのは、状態が粒子数の固有状態でないことを意味する。この点は例題 5.4.2で調べ、大きな系では粒子数のゆらぎの相対的な大きさが $0$ に近づくことを見る。第5部第3章の Weiss 平均場で、スピン $\bm{S}_j$ をその平均 $\langle \bm{S}_j \rangle$ とゆらぎに分けたのと同じく、対の演算子を$c_{-\bm{k}\downarrow}c_{\bm{k}\uparrow}=b_{\bm{k}}+(c_{-\bm{k}\downarrow}c_{\bm{k}\uparrow}-b_{\bm{k}})$ と分け、ゆらぎの2次を捨てる。そのうえで

$$\Delta\equiv\frac gV{\sum_{\bm{k}}}'b_{\bm{k}}\tag{5.4.6}$$

と置くと、$H$ は

$$H_{\mathrm{MF}}=\sum_{\bm{k}\sigma}\xi_{\bm{k}}c^\dagger_{\bm{k}\sigma}c_{\bm{k}\sigma} -\sum_{\bm{k}}\bigl(\Delta_{\bm{k}}c^\dagger_{\bm{k}\uparrow}c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}+\Delta_{\bm{k}}^*c_{-\bm{k}\downarrow}c_{\bm{k}\uparrow}\bigr) +\frac{V\lvert \Delta\rvert ^2}{g}\tag{5.4.7}$$

になる。ここで $\Delta_{\bm{k}}$ は殻の中（$\lvert \xi_{\bm{k}}\rvert <\hbar\omega_{\mathrm D}$）で $\Delta$、外で $0$ とした。最後の定数は、ゆらぎの2次を捨てたときに残る $-(g/V)\lvert \sum'b\rvert ^2$ の符号を反転した分の足し引きで、自由エネルギーを正しく数えるために要る（5.4.4節）。$H_{\mathrm{MF}}$ は粒子数を保存しないが、生成消滅演算子の2次式なので、正確に対角化することができる。

$2\times2$ 行列と Bogoliubov 変換

$\bm{k}\uparrow$ の電子と $-\bm{k}\downarrow$ の正孔を組にした2成分の演算子

$$\psi_{\bm{k}}=\begin{pmatrix}c_{\bm{k}\uparrow}\\ c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}\end{pmatrix}$$

を使うと、$c_{-\bm{k}\downarrow}c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}=1-c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}c_{-\bm{k}\downarrow}$ から

$$H_{\mathrm{MF}}=\sum_{\bm{k}}\psi_{\bm{k}}^\dagger \begin{pmatrix}\xi_{\bm{k}}&-\Delta_{\bm{k}}\\-\Delta_{\bm{k}}^*&-\xi_{\bm{k}}\end{pmatrix}\psi_{\bm{k}} +\sum_{\bm{k}}\xi_{\bm{k}}+\frac{V\lvert \Delta\rvert ^2}{g}\tag{5.4.8}$$

と書くことができる。$\bm{k}$ ごとに独立な $2\times2$ 行列の問題になった。行列の固有値は $\pm E_{\bm{k}}$ で、

$$E_{\bm{k}}=\sqrt{\xi_{\bm{k}}^2+\lvert \Delta_{\bm{k}}\rvert ^2}\tag{5.4.9}$$

である。以後、位相を選んで $\Delta$ を正の実数とする（位相の意味は5.4.4節で扱う）。固有値 $+E_{\bm{k}}$ の固有ベクトルを $(u_{\bm{k}},-v_{\bm{k}})$ とすると

$$u_{\bm{k}}^2=\frac12\Bigl(1+\frac{\xi_{\bm{k}}}{E_{\bm{k}}}\Bigr),\qquad v_{\bm{k}}^2=\frac12\Bigl(1-\frac{\xi_{\bm{k}}}{E_{\bm{k}}}\Bigr),\qquad u_{\bm{k}}v_{\bm{k}}=\frac{\Delta}{2E_{\bm{k}}}\tag{5.4.10}$$

（$u_{\bm{k}},v_{\bm{k}}\ge0$）である。固有ベクトルで新しい演算子

$$\gamma_{\bm{k}\uparrow}=u_{\bm{k}}c_{\bm{k}\uparrow}-v_{\bm{k}}c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow},\qquad \gamma^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}=v_{\bm{k}}c_{\bm{k}\uparrow}+u_{\bm{k}}c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}\tag{5.4.11}$$

を作ると（Bogoliubov 変換。N. N. Bogoliubov (1958), Nuovo Cimento 7, 794）、$u^2+v^2=1$ から $\gamma$ も反交換関係 $\{\gamma_{\bm{k}\uparrow},\gamma^\dagger_{\bm{k}\uparrow}\}_{+}=1$ を満たし、

$$H_{\mathrm{MF}}=\sum_{\bm{k}}E_{\bm{k}}\bigl(\gamma^\dagger_{\bm{k}\uparrow}\gamma_{\bm{k}\uparrow}+\gamma^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}\gamma_{-\bm{k}\downarrow}\bigr) +\sum_{\bm{k}}(\xi_{\bm{k}}-E_{\bm{k}})+\frac{V\Delta^2}{g}\tag{5.4.12}$$

になる。$\gamma^\dagger$ が作るものを準粒子（Bogoliubov 準粒子）と呼ぶ。準粒子は、$\bm{k}\uparrow$ の電子と $-\bm{k}\downarrow$ の正孔を $u_{\bm{k}}:v_{\bm{k}}$ の割合で混ぜたものである。

ギャップと BCS の基底状態

準粒子1個を作るには、少なくとも $E_{\bm{k}}\ge\Delta$ のエネルギーが要る。正常な金属では Fermi 面の直上で $\lvert \xi_{\bm{k}}\rvert \to0$ のいくらでも小さな励起があったが、対の平均場があると Fermi 面の上に幅 $\Delta$ のギャップが開く（図 5.4.1 の左）。

$H_{\mathrm{MF}}$ の基底状態は、すべての $\gamma$ に消される状態である。

$$| \mathrm{BCS} \rangle =\prod_{\bm{k}}\bigl(u_{\bm{k}}+v_{\bm{k}}\,c^\dagger_{\bm{k}\uparrow}c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}\bigr)| 0 \rangle\tag{5.4.13}$$

が $\gamma_{\bm{k}\uparrow}| \mathrm{BCS} \rangle =0$ を満たすことは、$\bm{k}$ の因子だけを取り出して確かめることができる。$\gamma_{\bm{k}\uparrow}(u+vc^\dagger_{\bm{k}\uparrow}c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow})| 0 \rangle =uv\,c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}| 0 \rangle -vu\,c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}| 0 \rangle =0$ である。この状態では、対 $(\bm{k}\uparrow,-\bm{k}\downarrow)$ が確率 $v_{\bm{k}}^2$ で占められ、確率 $u_{\bm{k}}^2$ で空いている。電子の占有数は

$$\langle c^\dagger_{\bm{k}\uparrow}c_{\bm{k}\uparrow} \rangle =v_{\bm{k}}^2$$

で、Fermi 面のまわりの幅 $\Delta$ の範囲で $1$ から $0$ へなめらかに下がる（図 5.4.1 の右）。正常な金属の絶対零度の階段は、対を作るために Fermi 面のまわりの席を少しずつ空けた形に変わる。

この $2\times2$ 行列の形は、第2部第8章の Peierls 転移で現れた行列と同じ構造をしている。Peierls 転移では、格子の2量体化が波数 $k$ と $k\pm\pi/a$ の電子を混ぜ、Fermi 点にギャップを開いた。BCS では、対の平均場が $\bm{k}\uparrow$ の電子と $-\bm{k}\downarrow$ の正孔を混ぜる。$-\bm{k}\downarrow$ の正孔のエネルギーは $-\xi_{-\bm{k}}=-\xi_{\bm{k}}$ で、$\bm{k}\uparrow$ の電子のエネルギー $\xi_{\bm{k}}$ と Fermi 面の上で必ず縮退する。Peierls 転移では Fermi 面のうち特定の向き（1次元の2点）しか縮退しなかったが、BCS では Fermi 面のすべての点が同時に縮退する。そのため、BCS のギャップは次元や Fermi 面の形によらず開く。

有限温度

有限温度では、準粒子は互いに独立な Fermi 粒子なので、占有数は Fermi 分布 $f(E_{\bm{k}})=1/(\mathrm{e}^{\beta E_{\bm{k}}}+1)$ に従う（$\beta=1/( k_{\mathrm B} T)$）。(5.4.11) を逆に解いて $c$ を $\gamma$ で書き、期待値をとると

$$b_{\bm{k}}=\langle c_{-\bm{k}\downarrow}c_{\bm{k}\uparrow} \rangle =u_{\bm{k}}v_{\bm{k}}\bigl(1-2f(E_{\bm{k}})\bigr)=\frac{\Delta}{2E_{\bm{k}}}\tanh\frac{\beta E_{\bm{k}}}{2}\tag{5.4.14}$$

を得る。熱で準粒子が励起されるほど対の期待値は減る。これを (5.4.6) に戻したものが次節のギャップ方程式である。