相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第1部 第7章 §1.7.5 ★★ 温度を推定する精度の限界は、測る系の熱容量で決まる
逆温度の Fisher 情報はエネルギーの分散
温度 T T T x x x
p ( x ; β ) = e − β E ( x ) Z ( β ) , Z ( β ) = ∑ x e − β E ( x ) , β = 1 k B T (1.7.16) p(x;\beta)=\frac{\mathrm{e}^{-\beta E(x)}}{Z(\beta)},\qquad Z(\beta)=\sum_x\mathrm{e}^{-\beta E(x)},\qquad \beta=\frac1{ k_{\mathrm B} T}\tag{1.7.16} p ( x ; β ) = Z ( β ) e − β E ( x ) , Z ( β ) = x ∑ e − β E ( x ) , β = k B T 1 ( 1.7.16 )
で与えられる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第3章 。情報の側からの導き方は 第2部第1章 ）。この巻では H H H x x x E ( x ) E(x) E ( x ) β \beta β s β ( x ) = − E ( x ) − ∂ β ln Z = − E ( x ) + ⟨ E ⟩ β s_\beta(x)=-E(x)-\partial_\beta\ln Z=-E(x)+\langle E \rangle _\beta s β ( x ) = − E ( x ) − ∂ β ln Z = − E ( x ) + ⟨ E ⟩ β
J ( β ) = ⟨ ( E − ⟨ E ⟩ β ) 2 ⟩ β = V a r β ( E ) = ∂ 2 ln Z ∂ β 2 (1.7.17) J(\beta)=\langle (E-\langle E \rangle _\beta)^2 \rangle _\beta=\mathrm{Var}_\beta(E)=\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}\tag{1.7.17} J ( β ) = ⟨( E − ⟨ E ⟩ β ) 2 ⟩ β = Var β ( E ) = ∂ β 2 ∂ 2 ln Z ( 1.7.17 )
となる。逆温度についての Fisher 情報は、エネルギーの揺らぎの大きさそのものである。
温度の推定の限界
統計力学で知られている揺らぎと熱容量の関係 V a r β ( E ) = k B T 2 C V \mathrm{Var}_\beta(E)= k_{\mathrm B} T^2C_V Var β ( E ) = k B T 2 C V C V = ∂ ⟨ E ⟩ / ∂ T C_V=\partial\langle E \rangle /\partial T C V = ∂ ⟨ E ⟩ / ∂ T (1.7.9) で β \beta β T T T d β / d T = − 1 / ( k B T 2 ) \mathrm{d}\beta/\mathrm{d} T=-1/( k_{\mathrm B} T^2) d β / d T = − 1/ ( k B T 2 )
J ( T ) = V a r β ( E ) ( 1 k B T 2 ) 2 = C V k B T 2 (1.7.18) J(T)=\mathrm{Var}_\beta(E)\Bigl(\frac{1}{ k_{\mathrm B} T^2}\Bigr)^2=\frac{C_V}{ k_{\mathrm B} T^2}\tag{1.7.18} J ( T ) = Var β ( E ) ( k B T 2 1 ) 2 = k B T 2 C V ( 1.7.18 )
を得る。系のエネルギーを n n n
V a r ( T ^ ) T 2 ≥ k B n C V (1.7.19) \frac{\mathrm{Var}(\hat T)}{T^2}\ge\frac{ k_{\mathrm B}}{n\,C_V}\tag{1.7.19} T 2 Var ( T ^ ) ≥ n C V k B ( 1.7.19 )
となる。熱容量の小さい温度計ほど、1回の測定から読み取れる温度の情報が少ない。熱容量が小さいとは、温度を変えてもエネルギーの分布がほとんど変わらないことで、分布の変化が小さければ見分けにくいという、1.7.1 節の D D D E E E x x x 1.7.2 の等号）。
外場 h h h M ( x ) M(x) M ( x ) − h M -hM − h M J ( h ) = β 2 V a r ( M ) J(h)=\beta^2\mathrm{Var}(M) J ( h ) = β 2 Var ( M ) 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第9章 ）から、これは帯磁率に比例する。統計力学の応答係数は、どれも対応するパラメータの Fisher 情報として読める。
Gibbs 分布どうしの D D D
カノニカル分布どうしの相対エントロピーは自由エネルギーで書ける。F ( β ) = − β − 1 ln Z ( β ) F(\beta)=-\beta^{-1}\ln Z(\beta) F ( β ) = − β − 1 ln Z ( β )
D ( p β ∥ p β ′ ) = ( β ′ − β ) ⟨ E ⟩ β + ln Z ( β ′ ) Z ( β ) (1.7.20) D(p_\beta\,\|\,p_{\beta'})=(\beta'-\beta)\langle E \rangle _\beta+\ln\frac{Z(\beta')}{Z(\beta)}\tag{1.7.20} D ( p β ∥ p β ′ ) = ( β ′ − β ) ⟨ E ⟩ β + ln Z ( β ) Z ( β ′ ) ( 1.7.20 )
で、これを β ′ = β + δ \beta'=\beta+\delta β ′ = β + δ 1 2 ∂ β 2 ln Z δ 2 = 1 2 V a r β ( E ) δ 2 \frac12\,\partial_\beta^2\ln Z\,\delta^2=\frac12\mathrm{Var}_\beta(E)\,\delta^2 2 1 ∂ β 2 ln Z δ 2 = 2 1 Var β ( E ) δ 2 (1.7.17) と合う。Gibbs 分布でない一般の分布 p p p D D D 第2部第2章 ）で扱う。量子系の温度計の精度は、量子 Fisher 情報を使って第3部第8章で同じ形に書ける。
図 1.7.3 エネルギー差 ε \varepsilon ε ε 2 / k B 2 \varepsilon ^2/ k_{\mathrm B}^2 ε 2 / k B 2 k B T ≈ 0.242 ε k_{\mathrm B} T\approx0.242\,\varepsilon k B T ≈ 0.242 ε 1.7.5 ）。
例題 1.7.5 2準位系の温度計が最もよく働く温度 ★★
オリジナル エネルギー 0 0 0 ε > 0 \varepsilon >0 ε > 0 T T T T T T
x = β ε x=\beta\varepsilon x = β ε C V C_V C V J ( T ) J(T) J ( T ) x x x ε \varepsilon ε T T T J ( T ) J(T) J ( T ) x x x 1回の測定あたりの相対誤差の下限 k B / C V \sqrt{ k_{\mathrm B}/C_V} k B / C V
解答 (1) 上の状態の確率は q = 1 / ( 1 + e x ) q=1/(1+\mathrm{e}^{x}) q = 1/ ( 1 + e x ) E E E 0 0 0 ε \varepsilon ε V a r ( E ) = ε 2 q ( 1 − q ) = ε 2 e x / ( 1 + e x ) 2 \mathrm{Var}(E)=\varepsilon ^2q(1-q)=\varepsilon ^2\mathrm{e}^x/(1+\mathrm{e}^x)^2 Var ( E ) = ε 2 q ( 1 − q ) = ε 2 e x / ( 1 + e x ) 2 V a r ( E ) = k B T 2 C V \mathrm{Var}(E)= k_{\mathrm B} T^2C_V Var ( E ) = k B T 2 C V C V / k B = x 2 e x / ( 1 + e x ) 2 C_V/ k_{\mathrm B}=x^2\mathrm{e}^x/(1+\mathrm{e}^x)^2 C V / k B = x 2 e x / ( 1 + e x ) 2 (1.7.18) と T = ε / ( k B x ) T=\varepsilon /( k_{\mathrm B} x) T = ε / ( k B x )
J ( T ) = C V k B T 2 = k B 2 ε 2 x 4 e x ( 1 + e x ) 2 J(T)=\frac{C_V}{ k_{\mathrm B} T^2}=\frac{ k_{\mathrm B}^2}{\varepsilon ^2}\,\frac{x^4\mathrm{e}^x}{(1+\mathrm{e}^x)^2} J ( T ) = k B T 2 C V = ε 2 k B 2 ( 1 + e x ) 2 x 4 e x
となる。
(2) g ( x ) = x 4 e x / ( 1 + e x ) 2 g(x)=x^4\mathrm{e}^x/(1+\mathrm{e}^x)^2 g ( x ) = x 4 e x / ( 1 + e x ) 2 4 x + 1 − 2 e x 1 + e x = 4 x − tanh x 2 \dfrac4x+1-\dfrac{2\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}=\dfrac4x-\tanh\dfrac x2 x 4 + 1 − 1 + e x 2 e x = x 4 − tanh 2 x
x tanh x 2 = 4 x\tanh\frac x2=4 x tanh 2 x = 4
である。x = 4 x=4 x = 4 3.856 3.856 3.856 x = 4.2 x=4.2 x = 4.2 4.076 4.076 4.076 x = 4.131 x=4.131 x = 4.131 k B T = 0.242 ε k_{\mathrm B} T=0.242\,\varepsilon k B T = 0.242 ε 1.7.3 ）。このとき g = 4.53 g=4.53 g = 4.53
(3) x = 4.131 x=4.131 x = 4.131 C V / k B = x 2 e x / ( 1 + e x ) 2 = 0.265 C_V/ k_{\mathrm B}=x^2\mathrm{e}^x/(1+\mathrm{e}^x)^2=0.265 C V / k B = x 2 e x / ( 1 + e x ) 2 = 0.265 k B / C V = 1.94 \sqrt{ k_{\mathrm B}/C_V}=1.94 k B / C V = 1.94 n ≥ ( 1.94 / 0.1 ) 2 ≈ 377 n\ge(1.94/0.1)^2\approx377 n ≥ ( 1.94/0.1 ) 2 ≈ 377
ほかの巻では
解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第6章 ：エネルギーの揺らぎ V a r ( E ) = k B T 2 C \mathrm{Var}(E)= k_{\mathrm B} T^2C Var ( E ) = k B T 2 C J ( β ) J(\beta) J ( β )
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