最小解の存在：電子は無限遠へ逃げないか

第1段（下からの有界性と弱極限） 2体部分は非負である。実際 $0\le\gamma\le1$ なら $|\gamma(x,y)|^2\le\gamma(x,x)\gamma(y,y)$ なので、交換項は直接項を超えない。水素型の不等式 $-\frac14\Delta-\frac{Z_k}{|\bm{r}|}\ge-Z_k^2$ を使うと核引力は運動エネルギーの半分で抑えられ、

$$\mathcal E^{\mathrm{HF}}(\gamma)\ \ge\ \tfrac12\operatorname{Tr}[-\tfrac12\Delta\gamma]-C(N,Z)$$

となる。したがって最小化列 $\gamma_n$ の運動エネルギーは有界で、弱収束する部分列がとれる。その極限 $\gamma$ は $0\le\gamma\le1$ を満たすが、$\operatorname{Tr}\gamma=\lambda\le N$ でしかない。ここで凸集合 $\mathcal G_N$ の利点が出る。閉じた凸集合 $\{0\le\gamma\le1,\ \operatorname{Tr}\gamma\le N\}$ は弱極限をとっても外へ出ないが、射影の集合 $\mathcal P_N$ はそうではない（遠ざかる軌道への射影の列は弱く 0 に収束する）。曲がった集合のままでは極限が許容集合から落ちてしまうので、凸集合へ緩和した問題で極限をとる。

第2段（下半連続性。難所） 逃げた部分のエネルギーは非負である。逃げた電子は核から遠いので核引力はほぼ 0 で、運動エネルギーと「直接項 − 交換項」はどちらも非負だからである。したがって

$$\mathcal E^{\mathrm{HF}}(\gamma)\le\liminf_n\mathcal E^{\mathrm{HF}}(\gamma_n)=\inf_{\mathcal P_N}\mathcal E^{\mathrm{HF}}$$

となる。この不等式を厳密にするには、$\gamma_n$ を核の近くと遠くに切り分ける局所化（境界の運動エネルギーの誤差が 0 に行くような切り分け方）と、核引力の項が弱収束で連続であることを示す必要がある。ここが技術的な中心で、本書では認めて進む。

第3段（質量は失われない） $\lambda<N$ と仮定して矛盾を導く。$F_\gamma$ のポテンシャル部分 $V+\rho_\gamma*|x|^{-1}$ は遠方で $-(Z-\lambda)/|\bm{r}|$ のように振る舞う。核電荷は整数なので、$N<Z+1$ は $N\le Z$ と同じであり、$Z-\lambda>Z-N\ge0$、つまり遠方には正味の引力の Coulomb の尾が残る。Coulomb の尾をもつ1体演算子は無限個の負の固有値をもつ（大きさ $R$ の領域に広がった試行関数では運動エネルギーが $\sim R^{-2}$、ポテンシャルが $\sim-(Z-\lambda)/R$ で、$R$ が大きければ負になる。水素原子の Rydberg 系列と同じ理屈で、第3章の min-max 原理から固有値の個数が数えられる）。交換演算子 $K_\gamma$ は非負なので $-K_\gamma$ はエネルギーを下げる側にしか働かない。そこで遠方に広がった正規化関数 $\psi$ で $\langle \psi,\,F_\gamma\psi\rangle <0$ となるものをとり、$\gamma+t| \psi \rangle \langle \psi |$ を作る（$\gamma$ と両立するように $\psi$ を選べることは技術的に確かめる）。(5.11) より

$$\mathcal E^{\mathrm{HF}}(\gamma+t| \psi \rangle \langle \psi |)=\mathcal E^{\mathrm{HF}}(\gamma)+t\langle \psi,\,F_\gamma\psi\rangle <\mathcal E^{\mathrm{HF}}(\gamma)$$

で、自己相互作用の相殺のおかげで2次の項がちょうど消えている。足りない電子 $N-\lambda$ 個分をこのように（互いに遠く離した関数で）付け加えると、$N$ 電子の許容集合の元で、エネルギーが $\inf_{\mathcal P_N}\mathcal E^{\mathrm{HF}}$ より真に低いものができる（第2段の不等式と合わせる）。これは下限の定義に反する。よって $\lambda=N$。

第4段 $\lambda=N$ なら $\gamma\in\mathcal G_N$ で $\mathcal E^{\mathrm{HF}}(\gamma)\le\inf$、つまり $\gamma$ は $\mathcal G_N$ 上の最小解である。Lieb の変分原理（定理 5.8）により、射影の最小解、すなわち Slater 行列式の最小解が存在する。