光子1個のエネルギーと $k_{\mathrm B} T$：光が量子的に見えるとき

光学と量子エレクトロニクス　第1章 §1.4　★★★ モード1つの熱平衡の光子数は $\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T$ だけで決まる。可視光は室温で真空にあり、マイクロ波は $50\,\mathrm{mK}$ の桁まで冷やして初めて真空に近づく

モード1つの熱平衡の光子数

温度 $T$ の熱平衡にある電磁場では、モード1つ1つが温度 $T$ の調和振動子である。段の数 $n$ の状態の重みは $\mathrm{e}^{-n\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T)}$ に比例するので、光子の数の平均は

$$\bar n_{\mathrm{ph}}(\omega,T)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T)}-1}\tag{1.14}$$

になる（Bose 分布。化学ポテンシャルが $0$ なのは光子の数に保存の拘束が無いからである。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）。$\bar n_{\mathrm{ph}}$ は $x=\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T)$ という1つの比だけで決まる。$x\ll1$ では $\bar n_{\mathrm{ph}}\approx1/x= k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega)\gg1$ で、モードは古典の等分配の値 $k_{\mathrm B} T$ のエネルギーを持ち、光子の数は大きく揺らぐ古典の波として振る舞う。$x\gg1$ では $\bar n_{\mathrm{ph}}\approx\mathrm{e}^{-x}\ll1$ で、モードはほぼ真空（$n=0$）にある。

2準位系にも同じ比が現れる。熱平衡で原子が上の準位にいる確率と下の準位にいる確率の比は

$$\frac{P_e}{P_g}=\mathrm{e}^{-\hbar\omega_0/( k_{\mathrm B} T)}\tag{1.15}$$

で、$\hbar\omega_0\gg k_{\mathrm B} T$ なら原子はほぼ確実に $| g \rangle$ にいる。光の実験が「真空のモードと基底状態の原子」から出発できるかどうかは、どちらもこの1つの比で決まる。

可視光とマイクロ波

$300\,\mathrm K$ の $k_{\mathrm B} T$ は $25.9\,\mathrm{meV}$ である。波長 $500\,\mathrm{nm}$ の光子1個のエネルギーは $\hbar\omega=hc/\lambda=2.48\,\mathrm{eV}$ で、$x\approx96$ になり、$\bar n_{\mathrm{ph}}\approx\mathrm{e}^{-96}\approx2\times10^{-42}$ である。可視光のモードは室温でほぼ完全に真空で、可視の遷移を持つ原子もほぼ完全に基底状態にある。光検出器が室温で光子を1個ずつ数えられるのも、熱の光子がほとんど無いからである。

一方、周波数 $5\,\mathrm{GHz}$ のマイクロ波の光子は $h\nu=20.7\,\mu\mathrm{eV}$ で、$h\nu/ k_{\mathrm B}=0.240\,\mathrm K$ にあたる。$300\,\mathrm K$ では $x=8\times10^{-4}$ で、モード1つに平均 $1250$ 個の熱の光子がいる。このモードに光子1個を入れても熱の光子に埋もれて区別できず、量子の状態を準備することができない。$\bar n_{\mathrm{ph}}$ を $0.01$ まで下げるには $x=\ln101\approx4.6$、すなわち $T\approx52\,\mathrm{mK}$ まで冷やす必要がある（例題 1.4）。マイクロ波の領域で量子の実験をする回路が希釈冷凍機の中に置かれるのはこのためである。図 1.2 に、3つの周波数で $\bar n_{\mathrm{ph}}$ を温度の関数として示す。

図 1.2　モード1つの熱平衡の光子数 $\bar n_{\mathrm{ph}}$。点線は Bose 分布 (1.14)（厳密）、細い実線は古典の極限 $k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega)$（近似）で、左から $5\,\mathrm{GHz}$・$1\,\mathrm{THz}$・$600\,\mathrm{THz}$ である。点線が実線から下へ離れる温度 $T\approx\hbar\omega/ k_{\mathrm B}$ より下で、そのモードは量子的に振る舞う（光子の数が $1$ より小さくなる）。$600\,\mathrm{THz}$ の点線は $300\,\mathrm K$ で $10^{-42}$ にあり、図の範囲より下にある。

量子的に見えるとは何か

「可視光は室温で量子的に見える」という言い方は、光の波の性質が消えるという意味ではない。干渉も回折も可視光で日常的に見える。量子的に見えるとは、モードの熱の揺らぎが光子1個より小さく、光子1個の有無や、光子の数の分布（第32章の $g^{(2)}$）が測れるという意味である。逆に、強いレーザー光は1つのモードに非常に多くの光子が入った状態で、光子の数の相対的な揺らぎが小さいので、古典の電場 $\bm{E}(t)$ として扱える。1.3節では、この場合にあたるとして光を古典の電場で扱った。どちらの扱いを選ぶかは、着目するモードの光子数とその揺らぎで決まる。光子数の分布で古典と量子を区別する方法は第31・32章で扱う（第31章・第32章）。