この章のまとめ

(1) エネルギーは $(+,+)$ と $(-,-)$ で $-J_0$、$(+,-)$ と $(-,+)$ で $+J_0$ なので、$Z=2\mathrm{e}^{2}+2\mathrm{e}^{-2}=4\cosh2\approx15.049$。

$$\begin{gathered} p_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{4\cosh2}\bigl(\mathrm{e}^2,\mathrm{e}^{-2},\mathrm{e}^{-2},\mathrm{e}^2\bigr)\approx(0.4910,\,0.0090,\,0.0090,\,0.4910),\\ F_{\mathrm{eq}}=- k_{\mathrm B} T\ln(4\cosh2)\approx-2.7113\, k_{\mathrm B} T . \end{gathered}$$

$p_{\mathrm{eq}}$ の対数は $E$ の1次式なので、式 (2.2.8) で $p_{\beta^*}=p_{\mathrm{eq}}$ とおけば、同じ平均エネルギーの任意の $p$ について $H(p_{\mathrm{eq}})-H(p)=D(p\,\|\,p_{\mathrm{eq}})\ge0$ となる。平均エネルギーを決めたときエントロピーは $p_{\mathrm{eq}}$ で最大で、これは前の章の最大エントロピー原理の結論と同じである。

(2) $q_m$ のもとで $\langle s_1s_2 \rangle =m^2$、2つのスピンは独立なので $H(q_m)=2h_{\mathrm b}\bigl(\frac{1+m}2\bigr)$ で、

$$F[q_m]=-J_0m^2-2 k_{\mathrm B} T\,h_{\mathrm b}\Bigl(\frac{1+m}{2}\Bigr).$$

$m$ で微分すると $-2J_0m+2 k_{\mathrm B} T\operatorname{artanh}m=0$ で、$m=\tanh(\beta J_0m)$ を得る。これは式 (2.2.15) で $z=1$、$h=0$ とした式である。$m=\tanh(2m)$ の $m>0$ の解は $m^*\approx0.9575$。$J_0=2 k_{\mathrm B} T$ を使うと $F_{\mathrm{MF}}=-2m^{*2} k_{\mathrm B} T-2 k_{\mathrm B} T\,h_{\mathrm b}(0.9788)\approx(-1.8336-0.2057) k_{\mathrm B} T=-2.0393\, k_{\mathrm B} T$。$m=0$ の値 $-2\ln2\, k_{\mathrm B} T\approx-1.386\, k_{\mathrm B} T$ より低いが、$F_{\mathrm{eq}}$ より高い。式 (2.2.16) から $D(q_{m^*}\,\|\,p_{\mathrm{eq}})=(-2.0393+2.7113)\approx0.672$ nat。各成分から直接 $\sum q\ln(q/p_{\mathrm{eq}})$ を計算しても同じ値になる。

(3) $q_{m^*}$ の平均エネルギーは $-J_0m^{*2}\approx-0.9168\,J_0$。Gibbs 分布の平均エネルギーは $-J_0\tanh(\beta'J_0)$ なので、$\tanh(\beta^*J_0)=m^{*2}$ から $\beta^*J_0=\operatorname{artanh}(0.9168)\approx1.569$（$T^*\approx1.275\,T$）。$H(p_{\beta^*})-H(q_{m^*})\approx0.6604$、$D(p_{\beta^*}\,\|\,p_{\mathrm{eq}})\approx0.0115$ で、和は $0.6719$ となり (2) と一致する。平均場の誤差のほとんど（約98 %）は温度の違いではなく、同じ平均エネルギーでのエントロピーの不足である。

(4) $q_{-m^*}$ は $q_{m^*}$ の $(+,+)$ と $(-,-)$ を入れ替えた分布なので、

$$\begin{gathered} \bar q(+,+)=\bar q(-,-)=\frac{(1+m^*)^2+(1-m^*)^2}{8}=\frac{1+m^{*2}}{4}\approx0.4792,\\ \bar q(+,-)=\bar q(-,+)=\frac{2(1-m^*)(1+m^*)}{8}=\frac{1-m^{*2}}{4}\approx0.0208 . \end{gathered}$$

$\bar q$ はエネルギーの等しい状態に等しい確率を置くので、エネルギーだけの関数で、平均エネルギーは $-J_0m^{*2}$ である。2つの値をとるエネルギーの関数は必ず $\mathrm{e}^{-\beta'E}$ の形に書けるので、$\bar q$ はこの平均エネルギーを持つ Gibbs 分布 $p_{\beta^*}$ に等しい。平均エネルギーは混ぜても変わらないので、自由エネルギーの変化は $- k_{\mathrm B} T\bigl[H(\bar q)-H(q_{m^*})\bigr]=- k_{\mathrm B} T\,D(q_{m^*}\,\|\,p_{\beta^*})\approx-0.660\, k_{\mathrm B} T$ で、$F[\bar q]\approx-2.6997\, k_{\mathrm B} T$ となる。混ぜた後の残りの誤差 $F[\bar q]-F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\,D(p_{\beta^*}\,\|\,p_{\mathrm{eq}})\approx0.0115\, k_{\mathrm B} T$ は温度の違いの分だけである。平均場の解が対称性を破ったことによる誤差は、混ぜれば消える。混合で下がった量 $0.660$ は $\ln2\approx0.693$ より小さい。$q_{+m^*}$ と $q_{-m^*}$ は $(+,-)$ と $(-,+)$ に同じ確率を置き、互いに重なっているからである。

(5) $\mathrm{Var}(E)=J_0^2\bigl(1-\tanh^2(\beta J_0)\bigr)=J_0^2/\cosh^22\approx0.0707\,J_0^2$、$C/ k_{\mathrm B}=\beta^2\mathrm{Var}(E)=4/\cosh^22\approx0.283$。$\delta\beta J_0=0.2$ で2次の近似は $\frac12\times0.0707\times0.04\approx0.00141$、式 (2.2.17) の厳密な値は $\ln\cosh2.2-\ln\cosh2-0.2\tanh2\approx0.00125$ で、比は $0.88$ である。仕事の上限は式 (2.2.11) から $k_{\mathrm B} T\,D(q_{m^*}\,\|\,p_{\mathrm{eq}})\approx0.672\, k_{\mathrm B} T$ である。平均場の解がもし本当に系の状態であれば、その平衡からのずれは仕事として $0.672\, k_{\mathrm B} T$ まで取り出せる。平均場近似の誤差と、その分布から取り出せる仕事の上限が、同じ相対エントロピーで測られている。