当てる D の性質：Klein の不等式

$\operatorname{supp}\hat\rho\not\subseteq\operatorname{supp}\hat\sigma$ なら $D=+\infty$ なので、$\operatorname{supp}\hat\rho\subseteq\operatorname{supp}\hat\sigma$ とする。$\hat\rho=\sum_ip_i| r_i \rangle \langle r_i |$、$\hat\sigma=\sum_jq_j| s_j \rangle \langle s_j |$ と固有値分解し、

$$P_{ij}\coloneqq\lvert \langle r_i | s_j \rangle \rvert ^2\tag{3.2.8}$$

とおく。$\{| s_j \rangle \}$ と $\{| r_i \rangle \}$ はどちらも正規直交基底なので $\sum_jP_{ij}=\langle r_i | r_i \rangle =1$、$\sum_iP_{ij}=\langle s_j | s_j \rangle =1$ で、$P$ は行の和も列の和も $1$ の二重確率行列である。式 (3.2.4) から

$$\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=\sum_ip_i\sum_jP_{ij}\ln q_j .$$

$p_i>0$ の $i$ について、$P_{ij}>0$ なる $j$ では台の条件から $q_j>0$ である。$j$ についての和は重み $P_{ij}$ の平均なので、$\ln$ の凹性（Jensen の不等式）から

$$\sum_jP_{ij}\ln q_j\le\ln\Bigl(\sum_jP_{ij}q_j\Bigr)\eqqcolon\ln t_i .\tag{3.2.9}$$

$t_i=\langle r_i | \hat\sigma | r_i \rangle$ で、$\sum_it_i=\operatorname{Tr}\hat\sigma=1$ なので $t=(t_i)$ は確率分布である。したがって

$$D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\sum_ip_i\ln p_i-\sum_ip_i\sum_jP_{ij}\ln q_j\ \ge\ \sum_ip_i\ln\frac{p_i}{t_i}=D(p\,\|\,t)\ \ge\ 0\tag{3.2.10}$$

で、最後は古典の Gibbs の不等式（第1部第3章）である。

等号が成り立つとする。$D(p\,\|\,t)=0$ から $t_i=p_i$。Jensen の等号条件（$\ln$ は狭義凹）から、$p_i>0$ の各 $i$ について $P_{ij}>0$ なる $j$ の $q_j$ はすべて等しく、その値は $t_i=p_i$ である。つまり $| r_i \rangle$ は $\hat\sigma$ の固有値 $p_i$ の固有空間に入り、$\hat\sigma| r_i \rangle =p_i| r_i \rangle$。これを $p_i>0$ の $i$ について足すと $\hat\sigma$ は $\sum_{p_i>0}p_i| r_i \rangle \langle r_i |=\hat\rho$ を部分として含み、残りの部分のトレースは $1-\sum_ip_i=0$、半正定値なのでその部分は $0$ になる。よって $\hat\sigma=\hat\rho$。逆に $\hat\rho=\hat\sigma$ なら定義から $D=0$。

$\hat A=\sum_ia_i| a_i \rangle \langle a_i |$、$\hat B=\sum_jb_j| b_j \rangle \langle b_j |$、$P_{ij}=\lvert \langle a_i | b_j \rangle \rvert ^2$ とおく。$\sum_jP_{ij}=\sum_iP_{ij}=1$ を使って各項を書くと$\operatorname{Tr} f(\hat A)=\sum_{ij}P_{ij}f(a_i)$、$\operatorname{Tr} f(\hat B)=\sum_{ij}P_{ij}f(b_j)$、$\operatorname{Tr}\hat Af'(\hat B)=\sum_{ij}P_{ij}a_if'(b_j)$、$\operatorname{Tr}\hat Bf'(\hat B)=\sum_{ij}P_{ij}b_jf'(b_j)$。よって左辺は $\sum_{ij}P_{ij}\bigl[f(a_i)-f(b_j)-(a_i-b_j)f'(b_j)\bigr]$ で、括弧の中は凸関数がその接線より上にあることから非負である。

(a) $f(\hat U\hat A\hat U^\dagger)=\hat Uf(\hat A)\hat U^\dagger$（固有ベクトルが $\hat U$ で写るだけ）とトレースの巡回性から従う。(b) $\ln(\hat A\otimes\hat B)=\ln\hat A\otimes\mathbf 1+\mathbf 1\otimes\ln\hat B$（固有値が積 $a_ib_j$ で、その対数が和になる）を使い、$\operatorname{Tr}(\hat\rho_1\otimes\hat\rho_2)(\hat X\otimes\mathbf 1)=\operatorname{Tr}\hat\rho_1\hat X$ を当てる。