相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第2章 §3.2.3 ★★★ 相手を 1 / d \mathbf 1/d 1 / d S S S S S S
上限：完全に混ざった状態と比べる
σ ^ = 1 / d \hat\sigma=\mathbf 1/d σ ^ = 1 / d ln σ ^ = − ( ln d ) 1 \ln\hat\sigma=-(\ln d)\mathbf 1 ln σ ^ = − ( ln d ) 1
D ( ρ ^ ∥ 1 / d ) = − S ( ρ ^ ) + ln d ≥ 0 , 0 ≤ S ( ρ ^ ) ≤ ln d . (3.2.14) D(\hat\rho\,\|\,\mathbf 1/d)=-S(\hat\rho)+\ln d\ \ge0,\qquad 0\le S(\hat\rho)\le\ln d .\tag{3.2.14} D ( ρ ^ ∥ 1 / d ) = − S ( ρ ^ ) + ln d ≥ 0 , 0 ≤ S ( ρ ^ ) ≤ ln d . ( 3.2.14 )
下限 0 0 0 1 1 1 ln d \ln d ln d ρ ^ = 1 / d \hat\rho=\mathbf 1/d ρ ^ = 1 / d H ( p ) ≤ ln ∣ X ∣ H(p)\le\ln\lvert \mathcal X\rvert H ( p ) ≤ ln ∣ X ∣ ln d − S ( ρ ^ ) \ln d-S(\hat\rho) ln d − S ( ρ ^ ) D D D
対角部分と比べる：どの基底で測ってもエントロピーは増える
正規直交基底 B = { ∣ b k ⟩ } \mathcal B=\{| b_k \rangle \} B = { ∣ b k ⟩} ρ ^ \hat\rho ρ ^ 0 0 0
Δ B ( ρ ^ ) ≔ ∑ k ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ ρ ^ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ = ∑ k ⟨ b k ∣ ρ ^ ∣ b k ⟩ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ (3.2.15) \Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)\coloneqq\sum_k| b_k \rangle \langle b_k |\,\hat\rho\,| b_k \rangle \langle b_k |=\sum_k\langle b_k | \hat\rho | b_k \rangle \,| b_k \rangle \langle b_k |\tag{3.2.15} Δ B ( ρ ^ ) : = k ∑ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ ρ ^ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ = k ∑ ⟨ b k ∣ ρ ^ ∣ b k ⟩ ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ ( 3.2.15 )
と書く。これは Kraus 演算子 ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ | b_k \rangle \langle b_k | ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ 完全な位相緩和 （デフェージング）である。Δ B ( ρ ^ ) \Delta_{\mathcal B}(\hat\rho) Δ B ( ρ ^ ) ρ k k = ⟨ b k ∣ ρ ^ ∣ b k ⟩ \rho_{kk}=\langle b_k | \hat\rho | b_k \rangle ρ k k = ⟨ b k ∣ ρ ^ ∣ b k ⟩ ρ ^ \hat\rho ρ ^
命題 3.2.6（対角部分との相対エントロピー）
D ( ρ ^ ∥ Δ B ( ρ ^ ) ) = S ( Δ B ( ρ ^ ) ) − S ( ρ ^ ) ≥ 0. (3.2.16) D\bigl(\hat\rho\,\|\,\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)\bigr)=S\bigl(\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)\bigr)-S(\hat\rho)\ \ge0 .\tag{3.2.16} D ( ρ ^ ∥ Δ B ( ρ ^ ) ) = S ( Δ B ( ρ ^ ) ) − S ( ρ ^ ) ≥ 0. ( 3.2.16 )
したがって、ρ ^ \hat\rho ρ ^ H ( ρ 11 , ρ 22 , … ) H(\rho_{11},\rho_{22},\dots) H ( ρ 11 , ρ 22 , … ) S ( ρ ^ ) S(\hat\rho) S ( ρ ^ ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ S ( ρ ^ ) = min B H ( B で測った結果の分布 ) S(\hat\rho)=\min_{\mathcal B}H({\mathcal B}\text{ で測った結果の分布}) S ( ρ ^ ) = min B H ( B で測った結果の分布 )
証明 ln Δ B ( ρ ^ ) = ∑ k ln ρ k k ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ \ln\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)=\sum_k\ln\rho_{kk}| b_k \rangle \langle b_k | ln Δ B ( ρ ^ ) = ∑ k ln ρ k k ∣ b k ⟩ ⟨ b k ∣ B \mathcal B B Tr ρ ^ ln Δ B ( ρ ^ ) = ∑ k ρ k k ln ρ k k = − S ( Δ B ( ρ ^ ) ) \operatorname{Tr}\hat\rho\ln\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)=\sum_k\rho_{kk}\ln\rho_{kk}=-S(\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)) Tr ρ ^ ln Δ B ( ρ ^ ) = ∑ k ρ k k ln ρ k k = − S ( Δ B ( ρ ^ )) (3.2.3) に入れると等式を得る。非負性は Klein の不等式、等号条件は ρ ^ = Δ B ( ρ ^ ) \hat\rho=\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho) ρ ^ = Δ B ( ρ ^ ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ B \mathcal B B
式 (3.2.16) の左辺は、ρ ^ \hat\rho ρ ^ B \mathcal B B D D D コヒーレンスの相対エントロピー と呼ばれる。例えば ∣ + ⟩ = ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 | + \rangle =(| 0 \rangle +| 1 \rangle )/\sqrt2 ∣ + ⟩ = ( ∣0 ⟩ + ∣1 ⟩) / 2 Z Z Z D ( ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ ∥ 1 / 2 ) = ln 2 − 0 = ln 2 D(| + \rangle \langle + |\,\|\,\mathbf 1/2)=\ln2-0=\ln2 D ( ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ ∥ 1 /2 ) = ln 2 − 0 = ln 2
混合と比べる：凹性と Holevo 量
状態 ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x p x p_x p x ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x \bar\rho=\sum_xp_x\hat\rho_x ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ (3.2.4) の第2項が ∑ x p x Tr ρ ^ x ln ρ ˉ = Tr ρ ˉ ln ρ ˉ \sum_xp_x\operatorname{Tr}\hat\rho_x\ln\bar\rho=\operatorname{Tr}\bar\rho\ln\bar\rho ∑ x p x Tr ρ ^ x ln ρ ˉ = Tr ρ ˉ ln ρ ˉ
χ ( { p x , ρ ^ x } ) ≔ ∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) = S ( ρ ˉ ) − ∑ x p x S ( ρ ^ x ) ≥ 0 (3.2.17) \chi(\{p_x,\hat\rho_x\})\coloneqq\sum_xp_x\,D(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho)=S(\bar\rho)-\sum_xp_xS(\hat\rho_x)\ \ge\ 0\tag{3.2.17} χ ({ p x , ρ ^ x }) : = x ∑ p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) = S ( ρ ˉ ) − x ∑ p x S ( ρ ^ x ) ≥ 0 ( 3.2.17 )
を得る。左辺の量を Holevo 量 と呼ぶ。第3部第7章（第3部第7章 ）では、状態 ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x x x x χ \chi χ
定理 3.2.7（凹性と混合の上界 ★★★）
ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x \bar\rho=\sum_xp_x\hat\rho_x ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x
∑ x p x S ( ρ ^ x ) ≤ S ( ρ ˉ ) ≤ H ( p ) + ∑ x p x S ( ρ ^ x ) . (3.2.18) \sum_xp_xS(\hat\rho_x)\ \le\ S(\bar\rho)\ \le\ H(p)+\sum_xp_xS(\hat\rho_x).\tag{3.2.18} x ∑ p x S ( ρ ^ x ) ≤ S ( ρ ˉ ) ≤ H ( p ) + x ∑ p x S ( ρ ^ x ) . ( 3.2.18 )
左の等号は p x > 0 p_x>0 p x > 0 ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x
証明 左の不等式は式 (3.2.17) と Klein の不等式の等号条件から従う。
右の不等式は、まず ρ ^ x = ∣ ψ x ⟩ ⟨ ψ x ∣ \hat\rho_x=| \psi_x \rangle \langle \psi_x | ρ ^ x = ∣ ψ x ⟩ ⟨ ψ x ∣ x x x { ∣ x ⟩ } \{| x \rangle \} { ∣ x ⟩} H \mathcal{H} H A ^ = ∑ x p x ∣ ψ x ⟩ ⟨ x ∣ \hat A=\sum_x\sqrt{p_x}| \psi_x \rangle \langle x | A ^ = ∑ x p x ∣ ψ x ⟩ ⟨ x ∣ A ^ A ^ † = ∑ x p x ∣ ψ x ⟩ ⟨ ψ x ∣ = ρ ˉ \hat A\hat A^\dagger=\sum_xp_x| \psi_x \rangle \langle \psi_x |=\bar\rho A ^ A ^ † = ∑ x p x ∣ ψ x ⟩ ⟨ ψ x ∣ = ρ ˉ G ^ ≔ A ^ † A ^ \hat G\coloneqq\hat A^\dagger\hat A G ^ : = A ^ † A ^ G x y = p x p y ⟨ ψ x ∣ ψ y ⟩ G_{xy}=\sqrt{p_xp_y}\,\langle \psi_x | \psi_y \rangle G x y = p x p y ⟨ ψ x ∣ ψ y ⟩ A ^ A ^ † \hat A\hat A^\dagger A ^ A ^ † A ^ † A ^ \hat A^\dagger\hat A A ^ † A ^ 0 0 0 A ^ = ∑ k λ k ∣ u k ⟩ ⟨ v k ∣ \hat A=\sum_k\sqrt{\lambda_k}| u_k \rangle \langle v_k | A ^ = ∑ k λ k ∣ u k ⟩ ⟨ v k ∣ λ k \lambda_k λ k S ( ρ ˉ ) = S ( G ^ ) S(\bar\rho)=S(\hat G) S ( ρ ˉ ) = S ( G ^ ) G ^ \hat G G ^ { ∣ x ⟩ } \{| x \rangle \} { ∣ x ⟩} G x x = p x G_{xx}=p_x G xx = p x 3.2.6 から S ( G ^ ) ≤ H ( p ) S(\hat G)\le H(p) S ( G ^ ) ≤ H ( p )
一般の場合は、各 ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x ρ ^ x = ∑ k λ x k ∣ ψ x k ⟩ ⟨ ψ x k ∣ \hat\rho_x=\sum_k\lambda_{xk}| \psi_{xk} \rangle \langle \psi_{xk} | ρ ^ x = ∑ k λ x k ∣ ψ x k ⟩ ⟨ ψ x k ∣ ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ ∣ ψ x k ⟩ | \psi_{xk} \rangle ∣ ψ x k ⟩ p x λ x k p_x\lambda_{xk} p x λ x k S ( ρ ˉ ) ≤ H ( { p x λ x k } ) = H ( p ) + ∑ x p x H ( λ x ) = H ( p ) + ∑ x p x S ( ρ ^ x ) S(\bar\rho)\le H(\{p_x\lambda_{xk}\})=H(p)+\sum_xp_xH(\lambda_x)=H(p)+\sum_xp_xS(\hat\rho_x) S ( ρ ˉ ) ≤ H ({ p x λ x k }) = H ( p ) + ∑ x p x H ( λ x ) = H ( p ) + ∑ x p x S ( ρ ^ x )
右の等号条件は、純粋状態の場合には G ^ \hat G G ^ ⟨ ψ x ∣ ψ y ⟩ = 0 \langle \psi_x | \psi_y \rangle =0 ⟨ ψ x ∣ ψ y ⟩ = 0 x ≠ y x\ne y x = y
凹性は「状態を混ぜるとエントロピーは平均以上になる」こと、右の上界は「混ぜることで増えるエントロピーは、どの状態を混ぜたかという古典の驚き H ( p ) H(p) H ( p ) x x x H ( p ) H(p) H ( p )
もう1つ、式 (3.2.17) の左辺の形から、任意の σ ^ \hat\sigma σ ^
∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ σ ^ ) − D ( ρ ˉ ∥ σ ^ ) = ∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) = χ ( { p x , ρ ^ x } ) ≥ 0 (3.2.19) \sum_xp_xD(\hat\rho_x\,\|\,\hat\sigma)-D(\bar\rho\,\|\,\hat\sigma)=\sum_xp_xD(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho)=\chi(\{p_x,\hat\rho_x\})\ \ge0\tag{3.2.19} x ∑ p x D ( ρ ^ x ∥ σ ^ ) − D ( ρ ˉ ∥ σ ^ ) = x ∑ p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) = χ ({ p x , ρ ^ x }) ≥ 0 ( 3.2.19 )
が出る（左辺の σ ^ \hat\sigma σ ^ − ∑ x p x Tr ρ ^ x ln σ ^ + Tr ρ ˉ ln σ ^ = 0 -\sum_xp_x\operatorname{Tr}\hat\rho_x\ln\hat\sigma+\operatorname{Tr}\bar\rho\ln\hat\sigma=0 − ∑ x p x Tr ρ ^ x ln σ ^ + Tr ρ ˉ ln σ ^ = 0 D D D
例題 3.2.3 直交しない2状態を混ぜる ★★
オリジナル ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ 1 / 2 1/2 1/2 ρ ˉ = 1 2 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + 1 2 ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ \bar\rho=\frac12| 0 \rangle \langle 0 |+\frac12| + \rangle \langle + | ρ ˉ = 2 1 ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + 2 1 ∣ + ⟩ ⟨ + ∣
ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ S ( ρ ˉ ) S(\bar\rho) S ( ρ ˉ ) 証明の行列 G ^ \hat G G ^ ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ
定理 3.2.7 の両側の不等式を確かめ、Holevo 量 χ \chi χ
解答 (1) ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ = 1 2 ( 1 + Z ) | 0 \rangle \langle 0 |=\frac12(\mathbf 1+Z) ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ = 2 1 ( 1 + Z ) ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ = 1 2 ( 1 + X ) | + \rangle \langle + |=\frac12(\mathbf 1+X) ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ = 2 1 ( 1 + X ) ρ ˉ = 1 2 ( 1 + 1 2 X + 1 2 Z ) \bar\rho=\frac12\bigl(\mathbf 1+\frac12X+\frac12Z\bigr) ρ ˉ = 2 1 ( 1 + 2 1 X + 2 1 Z ) 1 / 2 1/\sqrt2 1/ 2 1 2 ( 1 ± 1 / 2 ) = cos 2 ( π / 8 ) , sin 2 ( π / 8 ) = 0.8536 , 0.1464 \frac12(1\pm1/\sqrt2)=\cos^2(\pi/8),\ \sin^2(\pi/8)=0.8536,\ 0.1464 2 1 ( 1 ± 1/ 2 ) = cos 2 ( π /8 ) , sin 2 ( π /8 ) = 0.8536 , 0.1464 S ( ρ ˉ ) = h b ( cos 2 ( π / 8 ) ) = 0.4165 S(\bar\rho)=h_{\mathrm b}(\cos^2(\pi/8))=0.4165 S ( ρ ˉ ) = h b ( cos 2 ( π /8 )) = 0.4165
(2) p x = 1 / 2 p_x=1/2 p x = 1/2 ⟨ 0 ∣ + ⟩ = 1 / 2 \langle 0 | + \rangle =1/\sqrt2 ⟨ 0∣ + ⟩ = 1/ 2 G ^ = 1 2 ( 1 1 / 2 1 / 2 1 ) \hat G=\frac12\begin{pmatrix}1&1/\sqrt2\\1/\sqrt2&1\end{pmatrix} G ^ = 2 1 ( 1 1/ 2 1/ 2 1 ) 1 2 ( 1 ± 1 / 2 ) \frac12(1\pm1/\sqrt2) 2 1 ( 1 ± 1/ 2 )
(3) ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x ∑ x p x S ( ρ ^ x ) = 0 \sum_xp_xS(\hat\rho_x)=0 ∑ x p x S ( ρ ^ x ) = 0 0 ≤ 0.4165 ≤ ln 2 = 0.6931 0\le0.4165\le\ln2=0.6931 0 ≤ 0.4165 ≤ ln 2 = 0.6931 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ χ = S ( ρ ˉ ) − 0 = 0.4165 \chi=S(\bar\rho)-0=0.4165 χ = S ( ρ ˉ ) − 0 = 0.4165
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
