tecktom.com

この章のまとめ

2026年10月17日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第6部 第3章 ボース粒子とフェルミ粒子：交換子と反交換子

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第6部 第3章 §6.3.7　★★ 反交換関係から排他律・2次元の表現・符号の文字列・零点の符号・円の Bogoliubov 変換が出て、1粒子の運動は統計によらない

この章では、第二量子化の出発点の要請を交換関係から反交換関係に取り替えて、何が変わるかを調べた。1つのモードでは、{c^,c^†}+=1\{\hat c,\hat c^\dagger\}_{+}=1 と c^2=0\hat c^2=0 から n^2=n^\hat n^2=\hat n が出て、占有数は0か1に限られた（命題 6.3.2）。表現は2次元のもの1つで、演算子は有界である（命題 6.3.3）。交換関係のままでは c^2=0\hat c^2=0 と両立しないことも確かめた。多くのモードでは、異なるモードの演算子が反交換するので占有数の基底に並べ順の約束が要り、その符号は Jordan–Wigner 変換の文字列 Z^1⋯Z^j−1\hat Z_1\cdots\hat Z_{j-1} で量子ビットの言葉に移った（6.3.2 節）。

共通例題①では、対称な順序で書いたフェルミ粒子の振動子の零点エネルギーが −ℏω/2-\hbar\omega/2 になり、分配関数は 2cosh⁡(x/2)2\cosh(x/2)、占有数は 1/(ex+1)1/(\mathrm{e}^x+1) になった。ボース粒子の振動子と組み合わせると零点エネルギーが打ち消し合い、Witten の指数1が残った（6.3.3 節）。双一次の演算子の運動方程式は2つの統計で同じ形だが、対を作る項が入ると行列の符号が1つ変わり、フェルミ粒子は u2+v2=1u^2+v^2=1 の円、ボース粒子は u2−v2=1u^2-v^2=1 の双曲線の Bogoliubov 変換になって、ボース粒子だけが Δ>ε\Delta>\varepsilon で不安定になった（6.3.4 節）。共通例題②の Rabi 振動は1粒子では統計によらず、2粒子では振幅が permanent と行列式に分かれた（6.3.5 節）。最後に、フェルミ粒子の Fock 空間と量子ビットのテンソル積が両向きに対応すること（定理 6.3.4）を証明した。

要点

  • 反交換関係 {c^,c^†}+=1\{\hat c,\hat c^\dagger\}_{+}=1、c^2=0\hat c^2=0 から n^2=n^\hat n^2=\hat n が出る。これが Pauli の排他律の代数の形である。
  • 1モードの表現は2次元のもの1つで、∥c^∥=1\lVert \hat c\rVert =1。ボース粒子の無限次元・非有界と対照的である。
  • 多モードの符号 (−1)∑j<inj(-1)^{\sum_{j<i}n_j} は Jordan–Wigner の文字列で、隣どうしの飛び移りでは消え、環を閉じる所では粒子数の偶奇に依る境界の符号として残る。
  • 対称な順序の零点は ±ℏω/2\pm\hbar\omega/2、1モードの熱平衡は 1/(ex∓1)1/(\mathrm{e}^x\mp1)、分散は nˉ(1±nˉ)\bar n(1\pm\bar n)。
  • 双一次の運動方程式は統計によらない。対の項では ε2∓Δ2\sqrt{\varepsilon ^2\mp\Delta^2}（上がボース粒子）。
  • 1粒子の運動は統計によらず、2粒子の振幅は permanent（ボース粒子）と行列式（フェルミ粒子）に分かれる。

総合問題　対を作る2モードのフェルミ粒子を4つの言葉で解く ★★★

オリジナル2つのフェルミ粒子のモードの模型 (6.3.17)

H^F=ε(c^1†c^1+c^2†c^2)+Δ(c^1†c^2†+c^2c^1)(ε>0, Δ>0)\hat H_{\mathrm F}=\varepsilon \bigl(\hat c_1^\dagger\hat c_1+\hat c_2^\dagger\hat c_2\bigr)+\Delta\bigl(\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger+\hat c_2\hat c_1\bigr)\qquad(\varepsilon >0,\ \Delta>0)

を考える。数値は ε=1\varepsilon =1、Δ=0.75\Delta=0.75（エネルギーの単位は任意）とする。

  1. (1) 基底 (6.3.3) の4つの状態の上で H^F\hat H_{\mathrm F} を行列で書け。粒子数の偶奇で2つに分かれることを示し、固有値を求めよ。（使う道具：6.3.2 節の符号の約束）
  2. (2) 基底状態を ∣0,0⟩| 0,0 \rangle と ∣1,1⟩| 1,1 \rangle の重ね合わせで書き、Bogoliubov 変換 (6.3.21) の γ^1,γ^2\hat\gamma_1,\hat\gamma_2 がこの状態を消すことを確かめよ。（使う道具：6.3.4 節）
  3. (3) Jordan–Wigner 変換で H^F\hat H_{\mathrm F} を2つの量子ビットの Pauli 演算子 X^j=σ^j++σ^j−\hat X_j=\hat\sigma_j^++\hat\sigma_j^-、Y^j=−i(σ^j+−σ^j−)\hat Y_j=-\mathrm{i}(\hat\sigma_j^+-\hat\sigma_j^-)、Z^j\hat Z_j で書け。（使う道具：定理 6.3.4、第1部第2章の公理 Q6）
  4. (4) 温度 TT の熱平衡 ρ^=e−βH^F/Z\hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H_{\mathrm F}}/Z の分配関数を求め、準粒子の2つのフェルミ振動子の積として書けることを示せ。βε=1\beta\varepsilon =1 での ZZ と ⟨n^1⟩\langle \hat n_1 \rangle を数値で求めよ。（使う道具：6.3.3 節、第4部第4章の熱平衡の密度行列）
  5. (5) 同じ形のボース粒子の模型 H^B\hat H_{\mathrm B} で、基底エネルギーと基底状態の ⟨a^1†a^1⟩\langle \hat a_1^\dagger\hat a_1 \rangle を同じ数値で求め、フェルミ粒子と比べよ。Δ\Delta をどこまで大きくできるか。（使う道具：6.3.4 節、第6部第1章・第2部第4章の振動子の代数）
解答

(1) (6.3.4) から、c^1†c^2†∣0,0⟩=∣1,1⟩\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger| 0,0 \rangle =| 1,1 \rangle（(6.3.3) の定義そのもの）、c^2c^1∣1,1⟩=c^2c^1c^1†c^2†∣0⟩=∣0,0⟩\hat c_2\hat c_1| 1,1 \rangle =\hat c_2\hat c_1\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger| 0 \rangle =| 0,0 \rangle である。対の項は粒子数を2つ変えるので、粒子数が偶数の {∣0,0⟩,∣1,1⟩}\{| 0,0 \rangle ,| 1,1 \rangle \} と奇数の {∣0,1⟩,∣1,0⟩}\{| 0,1 \rangle ,| 1,0 \rangle \} を混ぜない。偶の部分の行列は

(0ΔΔ2ε)\begin{pmatrix}0&\Delta\\\Delta&2\varepsilon \end{pmatrix}

で、固有値は ε±ε2+Δ2=ε±EF\varepsilon \pm\sqrt{\varepsilon ^2+\Delta^2}=\varepsilon \pm E_{\mathrm F} である。奇の部分では対の項が0になり（c^1†c^2†∣0,1⟩=0\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger| 0,1 \rangle =0 など）、行列は ε\varepsilon の2重である。数値では EF=1.25E_{\mathrm F}=1.25 で、固有値は −0.25, 1, 1, 2.25-0.25,\ 1,\ 1,\ 2.25 である。粒子数の偶奇 (−1)n^1+n^2(-1)^{\hat n_1+\hat n_2} は H^F\hat H_{\mathrm F} と交換し、これは 6.3.6 節の例題で境界の符号を決めた偶奇と同じ量である。

(2) 偶の部分の固有値 ε−EF\varepsilon -E_{\mathrm F} の固有ベクトルは、∣Ψ0⟩=u∣0,0⟩−v∣1,1⟩| \Psi_0 \rangle =u| 0,0 \rangle -v| 1,1 \rangle（u2=0.9u^2=0.9、v2=0.1v^2=0.1、u=0.9487u=0.9487、v=0.3162v=0.3162）である。実際、行列を当てると第1成分は −Δv-\Delta v、第2成分は Δu−2εv\Delta u-2\varepsilon v で、v/u=(EF−ε)/Δ=1/3v/u=(E_{\mathrm F}-\varepsilon )/\Delta=1/3 を使うと両方とも (ε−EF)(\varepsilon -E_{\mathrm F}) 倍になる。γ^1=uc^1+vc^2†\hat\gamma_1=u\hat c_1+v\hat c_2^\dagger を当てると、c^1∣1,1⟩=c^1c^1†c^2†∣0⟩=∣0,1⟩\hat c_1| 1,1 \rangle =\hat c_1\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger| 0 \rangle =| 0,1 \rangle、c^2†∣0,0⟩=∣0,1⟩\hat c_2^\dagger| 0,0 \rangle =| 0,1 \rangle から

γ^1∣Ψ0⟩=u⋅(−v)∣0,1⟩+v⋅u∣0,1⟩=0\hat\gamma_1| \Psi_0 \rangle =u\cdot(-v)| 0,1 \rangle +v\cdot u| 0,1 \rangle =0

である。γ^2=uc^2−vc^1†\hat\gamma_2=u\hat c_2-v\hat c_1^\dagger も、c^2∣1,1⟩=−∣1,0⟩\hat c_2| 1,1 \rangle =-| 1,0 \rangle（c^2\hat c_2 が c^1†\hat c_1^\dagger を追い越す）、c^1†∣0,0⟩=∣1,0⟩\hat c_1^\dagger| 0,0 \rangle =| 1,0 \rangle から γ^2∣Ψ0⟩=uv∣1,0⟩−vu∣1,0⟩=0\hat\gamma_2| \Psi_0 \rangle =uv| 1,0 \rangle -vu| 1,0 \rangle =0 である。符号の約束を1か所でも守らないと、どちらかが0にならない。⟨n^1⟩=v2=0.1\langle \hat n_1 \rangle =v^2=0.1 である。

(3) c^1=σ^1−\hat c_1=\hat\sigma_1^-、c^2=Z^1σ^2−\hat c_2=\hat Z_1\hat\sigma_2^- で、σ^1+Z^1=σ^1+\hat\sigma_1^+\hat Z_1=\hat\sigma_1^+、Z^1σ^1−=σ^1−\hat Z_1\hat\sigma_1^-=\hat\sigma_1^- から

c^1†c^2†=σ^1+σ^2+,c^2c^1=Z^1σ^2−σ^1−=σ^1−σ^2−\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger=\hat\sigma_1^+\hat\sigma_2^+,\qquad \hat c_2\hat c_1=\hat Z_1\hat\sigma_2^-\hat\sigma_1^-=\hat\sigma_1^-\hat\sigma_2^-

である。σ^±=(X^±iY^)/2\hat\sigma^\pm=(\hat X\pm\mathrm{i}\hat Y)/2 と n^j=(1−Z^j)/2\hat n_j=(1-\hat Z_j)/2 を入れると

H^F=ε(1−Z^1+Z^22)+Δ2(X^1X^2−Y^1Y^2)\hat H_{\mathrm F}=\varepsilon \Bigl(1-\frac{\hat Z_1+\hat Z_2}{2}\Bigr)+\frac\Delta2\bigl(\hat X_1\hat X_2-\hat Y_1\hat Y_2\bigr)

になる。2つのモードの模型では隣どうしなので文字列は残らず、フェルミ粒子の対の項は2つの量子ビットの XX−YYXX-YY 型の結合になる。この形は2量子ビットの基準（公理 Q6）の言葉で書いた同じハミルトニアンで、固有値は (1) と同じ −0.25,1,1,2.25-0.25,1,1,2.25 である。

(4) 4つの固有値 ε−EF\varepsilon -E_{\mathrm F}、ε\varepsilon（2重）、ε+EF\varepsilon +E_{\mathrm F} から

Z=e−β(ε−EF)+2e−βε+e−β(ε+EF)=e−β(ε−EF)(1+e−βEF)2=e−βε(2cosh⁡βEF2)2Z=\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon -E_{\mathrm F})}+2\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon }+\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon +E_{\mathrm F})}=\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon -E_{\mathrm F})}\bigl(1+\mathrm{e}^{-\beta E_{\mathrm F}}\bigr)^2=\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon }\Bigl(2\cosh\frac{\beta E_{\mathrm F}}{2}\Bigr)^2

である。最後の形は、角振動数 EF/ℏE_{\mathrm F}/\hbar のフェルミ粒子の振動子 (6.3.10) の ZF=2cosh⁡(βEF/2)Z_{\mathrm F}=2\cosh(\beta E_{\mathrm F}/2) が2つと、定数の因子 e−βε\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon } の積で、6.3.4 節の H^F=EF(γ^1†γ^1+γ^2†γ^2)+ε−EF\hat H_{\mathrm F}=E_{\mathrm F}(\hat\gamma_1^\dagger\hat\gamma_1+\hat\gamma_2^\dagger\hat\gamma_2)+\varepsilon -E_{\mathrm F} を熱平衡の言葉で言い直したものである。βε=1\beta\varepsilon =1 では Z=e−1(2+2cosh⁡1.25)=2.1252Z=\mathrm{e}^{-1}(2+2\cosh1.25)=2.1252 である。準粒子の占有は ⟨γ^†γ^⟩=1/(e1.25+1)=0.2227\langle \hat\gamma^\dagger\hat\gamma \rangle =1/(\mathrm{e}^{1.25}+1)=0.2227 で、n^1=(uγ^1†−vγ^2)(uγ^1−vγ^2†)\hat n_1=(u\hat\gamma_1^\dagger-v\hat\gamma_2)(u\hat\gamma_1-v\hat\gamma_2^\dagger) の期待値は交差項が熱平衡で0になるので

⟨n^1⟩=u2⟨γ^1†γ^1⟩+v2(1−⟨γ^2†γ^2⟩)=v2+(u2−v2)⋅0.2227=0.1+0.8×0.2227=0.2782\langle \hat n_1 \rangle =u^2\langle \hat\gamma_1^\dagger\hat\gamma_1 \rangle +v^2\bigl(1-\langle \hat\gamma_2^\dagger\hat\gamma_2 \rangle \bigr)=v^2+(u^2-v^2)\cdot0.2227=0.1+0.8\times0.2227=0.2782

である。

(5) EB=1−0.5625=0.6614E_{\mathrm B}=\sqrt{1-0.5625}=0.6614 で、基底エネルギーは EB−ε=−0.3386E_{\mathrm B}-\varepsilon =-0.3386、⟨a^1†a^1⟩=v2=12(ε/EB−1)=0.2559\langle \hat a_1^\dagger\hat a_1 \rangle =v^2=\frac12(\varepsilon /E_{\mathrm B}-1)=0.2559 である。フェルミ粒子（−0.25-0.25、0.10.1）と比べて、ボース粒子は同じ Δ\Delta で基底エネルギーが下がり、占有数も大きい。各モードに何個でも入れるので、対の項で下がる余地が大きいためである。Δ\Delta を大きくすると EBE_{\mathrm B} は Δ=ε\Delta=\varepsilon で0になり、Δ>ε\Delta>\varepsilon では運動方程式の固有値が純虚数になって基底状態が無くなる。したがって Δ<ε\Delta<\varepsilon に限られる。フェルミ粒子にはこの制限が無い。verify_ch6-03.py で、(1)〜(4) を4次元の行列で、(5) を各モード45個で打ち切ったボース粒子の行列で確かめた。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
← AI生成教科書『虎の巻』の記事一覧へ