量子力学の様々な構成方法 第6部 第3章 §6.3.2 ★★★ 異なるモードの演算子が反交換するので、占有数の基底には並べ順の約束が要り、その符号は量子ビットの Z Z Z
占有数の基底と符号
モードが M M M { c ^ i , c ^ j † } + = δ i j \{\hat c_i,\hat c_j^\dagger\}_{+}=\delta_{ij} { c ^ i , c ^ j † } + = δ ij { c ^ i , c ^ j } + = 0 \{\hat c_i,\hat c_j\}_{+}=0 { c ^ i , c ^ j } + = 0 i ≠ j i\neq j i = j
n ^ i c ^ j = c ^ i † c ^ i c ^ j = c ^ j c ^ i † c ^ i = c ^ j n ^ i \hat n_i\hat c_j=\hat c_i^\dagger\hat c_i\hat c_j=\hat c_j\hat c_i^\dagger\hat c_i=\hat c_j\hat n_i n ^ i c ^ j = c ^ i † c ^ i c ^ j = c ^ j c ^ i † c ^ i = c ^ j n ^ i
で、c ^ j \hat c_j c ^ j c ^ i \hat c_i c ^ i c ^ i † \hat c_i^\dagger c ^ i † − 1 -1 − 1 + 1 +1 + 1 n ^ i \hat n_i n ^ i n ^ j \hat n_j n ^ j n ^ 1 , … , n ^ M \hat n_1,\dots,\hat n_M n ^ 1 , … , n ^ M n ^ i \hat n_i n ^ i 0 0 0 1 1 1 6.3.2 ）、2 M 2^M 2 M ( n 1 , … , n M ) (n_1,\dots,n_M) ( n 1 , … , n M )
ここで約束が要る。生成演算子どうしが反交換するので、c ^ 1 † c ^ 2 † ∣ 0 ⟩ = − c ^ 2 † c ^ 1 † ∣ 0 ⟩ \hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger| 0 \rangle =-\hat c_2^\dagger\hat c_1^\dagger| 0 \rangle c ^ 1 † c ^ 2 † ∣0 ⟩ = − c ^ 2 † c ^ 1 † ∣0 ⟩
∣ n 1 , n 2 , … , n M ⟩ = ( c ^ 1 † ) n 1 ( c ^ 2 † ) n 2 ⋯ ( c ^ M † ) n M ∣ 0 ⟩ (6.3.3) | n_1,n_2,\dots,n_M \rangle =(\hat c_1^\dagger)^{n_1}(\hat c_2^\dagger)^{n_2}\cdots(\hat c_M^\dagger)^{n_M}| 0 \rangle\tag{6.3.3} ∣ n 1 , n 2 , … , n M ⟩ = ( c ^ 1 † ) n 1 ( c ^ 2 † ) n 2 ⋯ ( c ^ M † ) n M ∣0 ⟩ ( 6.3.3 )
を基底にとる。この基底の上で、c ^ i † \hat c_i^\dagger c ^ i † c ^ j † \hat c_j^\dagger c ^ j † j < i j<i j < i n j = 1 n_j=1 n j = 1
c ^ i † ∣ … , n i , … ⟩ = ( − 1 ) ∑ j < i n j ( 1 − n i ) ∣ … , n i + 1 , … ⟩ , c ^ i ∣ … , n i , … ⟩ = ( − 1 ) ∑ j < i n j n i ∣ … , n i − 1 , … ⟩ (6.3.4) \begin{aligned}
\hat c_i^\dagger| \dots,n_i,\dots \rangle &=(-1)^{\sum_{j<i}n_j}\,(1-n_i)\,| \dots,n_i+1,\dots \rangle ,\\
\hat c_i| \dots,n_i,\dots \rangle &=(-1)^{\sum_{j<i}n_j}\,n_i\,| \dots,n_i-1,\dots \rangle
\end{aligned}\tag{6.3.4} c ^ i † ∣ … , n i , … ⟩ c ^ i ∣ … , n i , … ⟩ = ( − 1 ) ∑ j < i n j ( 1 − n i ) ∣ … , n i + 1 , … ⟩ , = ( − 1 ) ∑ j < i n j n i ∣ … , n i − 1 , … ⟩ ( 6.3.4 )
になる。因子 ( 1 − n i ) (1-n_i) ( 1 − n i ) n i + 1 \sqrt{n_i+1} n i + 1
符号 ( − 1 ) ∑ j < i n j (-1)^{\sum_{j<i}n_j} ( − 1 ) ∑ j < i n j a ^ † ( φ ) \hat a^\dagger(\varphi) a ^ † ( φ ) ( − 1 ) k − 1 (-1)^{k-1} ( − 1 ) k − 1 第6部第2章 ）。波動関数では「何番目の変数に足すか」で、占有数の基底では「何番目のモードに足すか」で、同じ符号が数えられている。
Jordan–Wigner 変換
占有数の基底 (6.3.3) は 2 M 2^M 2 M M M M ( C 2 ) ⊗ M (\mathbb{C}^2)^{\otimes M} ( C 2 ) ⊗ M ∣ n 1 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ n M ⟩ | n_1 \rangle \otimes\cdots\otimes| n_M \rangle ∣ n 1 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ n M ⟩ j j j
σ ^ j − = ∣ 0 ⟩ ⟨ 1 ∣ j , σ ^ j + = ∣ 1 ⟩ ⟨ 0 ∣ j , Z ^ j = ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ j − ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ j = ( − 1 ) n ^ j (6.3.5) \hat\sigma_j^-=| 0 \rangle \langle 1 |_j,\qquad \hat\sigma_j^+=| 1 \rangle \langle 0 |_j,\qquad \hat Z_j=| 0 \rangle \langle 0 |_j-| 1 \rangle \langle 1 |_j=(-1)^{\hat n_j}\tag{6.3.5} σ ^ j − = ∣0 ⟩ ⟨ 1 ∣ j , σ ^ j + = ∣1 ⟩ ⟨ 0 ∣ j , Z ^ j = ∣0 ⟩ ⟨ 0 ∣ j − ∣1 ⟩ ⟨ 1 ∣ j = ( − 1 ) n ^ j ( 6.3.5 )
と書く（添字 j j j ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ Z ^ j = − 1 \hat Z_j=-1 Z ^ j = − 1 σ z ∣ e ⟩ = + ∣ e ⟩ \sigma_z| e \rangle =+| e \rangle σ z ∣ e ⟩ = + ∣ e ⟩ Z ^ j \hat Z_j Z ^ j (6.3.4) の符号は ∏ k < j Z ^ k \prod_{k<j}\hat Z_k ∏ k < j Z ^ k
c ^ j = Z ^ 1 Z ^ 2 ⋯ Z ^ j − 1 σ ^ j − , σ ^ j − = ( 1 − 2 n ^ 1 ) ( 1 − 2 n ^ 2 ) ⋯ ( 1 − 2 n ^ j − 1 ) c ^ j (6.3.6) \hat c_j=\hat Z_1\hat Z_2\cdots\hat Z_{j-1}\,\hat\sigma_j^-,\qquad \hat\sigma_j^-=(1-2\hat n_1)(1-2\hat n_2)\cdots(1-2\hat n_{j-1})\,\hat c_j\tag{6.3.6} c ^ j = Z ^ 1 Z ^ 2 ⋯ Z ^ j − 1 σ ^ j − , σ ^ j − = ( 1 − 2 n ^ 1 ) ( 1 − 2 n ^ 2 ) ⋯ ( 1 − 2 n ^ j − 1 ) c ^ j ( 6.3.6 )
と書ける。これを Jordan–Wigner 変換と呼ぶ（P. Jordan and E. Wigner (1928), Z. Phys. 47 , 631）。Z ^ k \hat Z_k Z ^ k Z ^ k 2 = 1 \hat Z_k^2=1 Z ^ k 2 = 1 Z ^ k = 1 − 2 n ^ k \hat Z_k=1-2\hat n_k Z ^ k = 1 − 2 n ^ k 6.3.4 ）で証明する。
文字列は、隣どうしのモードの間の飛び移りでは消える。c ^ j † c ^ j + 1 \hat c_j^\dagger\hat c_{j+1} c ^ j † c ^ j + 1 (6.3.6) で書くと、Z ^ 1 ⋯ Z ^ j − 1 \hat Z_1\cdots\hat Z_{j-1} Z ^ 1 ⋯ Z ^ j − 1 1 1 1 Z ^ j \hat Z_j Z ^ j σ ^ j + Z ^ j = σ ^ j + \hat\sigma_j^+\hat Z_j=\hat\sigma_j^+ σ ^ j + Z ^ j = σ ^ j + Z ^ j \hat Z_j Z ^ j ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ + 1 +1 + 1
c ^ j † c ^ j + 1 = σ ^ j + σ ^ j + 1 − (6.3.7) \hat c_j^\dagger\hat c_{j+1}=\hat\sigma_j^+\hat\sigma_{j+1}^-\tag{6.3.7} c ^ j † c ^ j + 1 = σ ^ j + σ ^ j + 1 − ( 6.3.7 )
である。1次元に並んだモードの最近接の飛び移りは、量子ビットの言葉でも隣どうしにしか働かない。これが1次元のスピン鎖とフェルミ粒子の模型が互いに書き直せる理由で、第6部第4章の Hubbard 模型や磁性の模型でこの対応を使う（第6部第4章 ）。離れたモードの間では文字列が残り、間のモードの占有数に依る符号が付く。
例題 6.3.2 粒子を飛び越える飛び移りの符号 ★★
オリジナル 3つのモードがあり、基底は (6.3.3) の順で作る。
(1) c ^ 1 † c ^ 3 \hat c_1^\dagger\hat c_3 c ^ 1 † c ^ 3 ∣ 0 , 0 , 1 ⟩ | 0,0,1 \rangle ∣0 , 0 , 1 ⟩ ∣ 0 , 1 , 1 ⟩ | 0,1,1 \rangle ∣0 , 1 , 1 ⟩ (2) c ^ 1 † c ^ 3 \hat c_1^\dagger\hat c_3 c ^ 1 † c ^ 3 (3) (1) の符号の違いを、第2章の反対称な波動関数の言葉で説明せよ。
解答 (1) (6.3.4) から、c ^ 3 ∣ 0 , 0 , 1 ⟩ = ( − 1 ) 0 + 0 ∣ 0 , 0 , 0 ⟩ \hat c_3| 0,0,1 \rangle =(-1)^{0+0}| 0,0,0 \rangle c ^ 3 ∣0 , 0 , 1 ⟩ = ( − 1 ) 0 + 0 ∣0 , 0 , 0 ⟩ c ^ 1 † ∣ 0 , 0 , 0 ⟩ = ∣ 1 , 0 , 0 ⟩ \hat c_1^\dagger| 0,0,0 \rangle =| 1,0,0 \rangle c ^ 1 † ∣0 , 0 , 0 ⟩ = ∣1 , 0 , 0 ⟩
c ^ 1 † c ^ 3 ∣ 0 , 0 , 1 ⟩ = + ∣ 1 , 0 , 0 ⟩ \hat c_1^\dagger\hat c_3| 0,0,1 \rangle =+| 1,0,0 \rangle c ^ 1 † c ^ 3 ∣0 , 0 , 1 ⟩ = + ∣1 , 0 , 0 ⟩
である。c ^ 3 ∣ 0 , 1 , 1 ⟩ = ( − 1 ) 0 + 1 ∣ 0 , 1 , 0 ⟩ = − ∣ 0 , 1 , 0 ⟩ \hat c_3| 0,1,1 \rangle =(-1)^{0+1}| 0,1,0 \rangle =-| 0,1,0 \rangle c ^ 3 ∣0 , 1 , 1 ⟩ = ( − 1 ) 0 + 1 ∣0 , 1 , 0 ⟩ = − ∣0 , 1 , 0 ⟩ c ^ 1 † ∣ 0 , 1 , 0 ⟩ = ( − 1 ) 0 ∣ 1 , 1 , 0 ⟩ \hat c_1^\dagger| 0,1,0 \rangle =(-1)^0| 1,1,0 \rangle c ^ 1 † ∣0 , 1 , 0 ⟩ = ( − 1 ) 0 ∣1 , 1 , 0 ⟩
c ^ 1 † c ^ 3 ∣ 0 , 1 , 1 ⟩ = − ∣ 1 , 1 , 0 ⟩ \hat c_1^\dagger\hat c_3| 0,1,1 \rangle =-| 1,1,0 \rangle c ^ 1 † c ^ 3 ∣0 , 1 , 1 ⟩ = − ∣1 , 1 , 0 ⟩
である。モード2に粒子がいるときだけ符号が反転する。
(2) c ^ 1 † = σ ^ 1 + \hat c_1^\dagger=\hat\sigma_1^+ c ^ 1 † = σ ^ 1 + c ^ 3 = Z ^ 1 Z ^ 2 σ ^ 3 − \hat c_3=\hat Z_1\hat Z_2\hat\sigma_3^- c ^ 3 = Z ^ 1 Z ^ 2 σ ^ 3 − σ ^ 1 + Z ^ 1 = σ ^ 1 + \hat\sigma_1^+\hat Z_1=\hat\sigma_1^+ σ ^ 1 + Z ^ 1 = σ ^ 1 +
c ^ 1 † c ^ 3 = σ ^ 1 + Z ^ 2 σ ^ 3 − \hat c_1^\dagger\hat c_3=\hat\sigma_1^+\hat Z_2\hat\sigma_3^- c ^ 1 † c ^ 3 = σ ^ 1 + Z ^ 2 σ ^ 3 −
である。間のモード2の Z ^ 2 = ( − 1 ) n ^ 2 \hat Z_2=(-1)^{\hat n_2} Z ^ 2 = ( − 1 ) n ^ 2
(3) ∣ 0 , 1 , 1 ⟩ = c ^ 2 † c ^ 3 † ∣ 0 ⟩ | 0,1,1 \rangle =\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger| 0 \rangle ∣0 , 1 , 1 ⟩ = c ^ 2 † c ^ 3 † ∣0 ⟩ 1 2 [ φ 2 ( x 1 ) φ 3 ( x 2 ) − φ 3 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 ) ] \frac1{\sqrt2}[\varphi_2(x_1)\varphi_3(x_2)-\varphi_3(x_1)\varphi_2(x_2)] 2 1 [ φ 2 ( x 1 ) φ 3 ( x 2 ) − φ 3 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 )] ∣ 1 , 1 , 0 ⟩ = c ^ 1 † c ^ 2 † ∣ 0 ⟩ | 1,1,0 \rangle =\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger| 0 \rangle ∣1 , 1 , 0 ⟩ = c ^ 1 † c ^ 2 † ∣0 ⟩ 1 2 [ φ 1 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 ) − φ 2 ( x 1 ) φ 1 ( x 2 ) ] \frac1{\sqrt2}[\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)-\varphi_2(x_1)\varphi_1(x_2)] 2 1 [ φ 1 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 ) − φ 2 ( x 1 ) φ 1 ( x 2 )] φ 3 \varphi_3 φ 3 φ 1 \varphi_1 φ 1 φ 3 \varphi_3 φ 3 φ 1 \varphi_1 φ 1 1 2 [ φ 2 ( x 1 ) φ 1 ( x 2 ) − φ 1 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 ) ] \frac1{\sqrt2}[\varphi_2(x_1)\varphi_1(x_2)-\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)] 2 1 [ φ 2 ( x 1 ) φ 1 ( x 2 ) − φ 1 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 )] − ∣ 1 , 1 , 0 ⟩ -| 1,1,0 \rangle − ∣1 , 1 , 0 ⟩ − 1 -1 − 1 Z ^ 2 \hat Z_2 Z ^ 2 verify_ch6-03.py で、3モードの Jordan–Wigner の行列から (1)(2) を確かめた。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
