授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第4章 §4.4.6　★★ 級数の打ち切り条件と $\hat a| 0 \rangle =0$ は同じ条件。前期量子論の $nh$ との差 $\frac12$、行列要素と古典の Fourier 成分の一致

級数解と打ち切り

解析力学を使わない授業では、Schrödinger 方程式

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d} q^2}+\frac12m\omega^2q^2\psi=E\psi$$

を $\xi=q/\ell$、$\varepsilon_{\mathrm r}=2E/(\hbar\omega)$ で無次元化して $\psi''+(\varepsilon_{\mathrm r}-\xi^2)\psi=0$ とし、遠方の振る舞い $\mathrm{e}^{-\xi^2/2}$ を括り出して $\psi=h(\xi)\mathrm{e}^{-\xi^2/2}$ とおく。$h$ は

$$h''-2\xi h'+(\varepsilon_{\mathrm r}-1)h=0\tag{4.4.28}$$

を満たし、べき級数 $h=\sum_kc_k\xi^k$ の係数は漸化式

$$c_{k+2}=\frac{2k+1-\varepsilon_{\mathrm r}}{(k+1)(k+2)}\,c_k\tag{4.4.29}$$

に従う。級数が途中で止まらないと、$k$ が大きいところで $c_{k+2}/c_k\approx2/k$ となって $h$ は $\mathrm{e}^{\xi^2}$ と同じ速さで増え、$\psi$ を規格化することができない。級数が止まるのは $\varepsilon_{\mathrm r}=2n+1$ のときで、これが $E=\hbar\omega(n+\frac12)$ である。

この章の道筋では、同じ条件は「$\hat a$ を繰り返し掛けると止まらなければならない」（4.4.3節）で与えられた。2つは同じことを言っている。$\hat a=\frac{1}{\sqrt2}(\xi+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \xi})$, $\hat a^\dagger=\frac{1}{\sqrt2}(\xi-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \xi})$ で、方程式 (4.4.28) は$\hat a^\dagger\hat a\,\psi=\frac{\varepsilon_{\mathrm r}-1}{2}\psi$ を $h$ について書いたものである。級数の打ち切りは「下げ続けると $0$ に当たって止まる」ことの、係数の言葉での表現になっている。授業で天下りに出てきた $\hat a$ は、古典の作用角変数の複素振幅を量子化したものとして、この章では出所がはっきりした。

前期量子論との差

前期量子論の量子化条件 $\oint p\,\mathrm{d} q=nh$（$J=n\hbar$）を調和振動子に当てると $E=n\hbar\omega$ で、間隔 $\hbar\omega$ は正しいが、全体が $\frac12\hbar\omega$ だけずれる。第1部第14章で述べたとおり、滑らかな転回点を持つポテンシャルでは WKB の接続から $\frac12$ が加わり（第4部第7章）、調和振動子ではその結果が厳密になる。この章の言葉では、$\frac12$ は $z^*z$ の並べ方（4.4.2節）から出てきた。WKB で転回点の位相として現れる $\frac12$ と、並べ方として現れる $\frac12$ は、調和振動子では同じ量である。準位の間隔だけで決まる量（遷移の振動数、比熱の温度依存の形）は $\frac12$ を区別しない。区別するのは基底状態のエネルギーそのものと、第5部で扱う零点エネルギーの和である。

行列要素と古典の Fourier 成分

古典の振動子の位置は $q(t)=A\sin(\omega t+\theta_0)$ で、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ と $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}$ の2つの Fourier 成分だけを持ち、その大きさは

$$\lvert q_{\pm1}\rvert =\frac A2=\sqrt{\frac{J}{2m\omega}}$$

である。量子では、Heisenberg 描像の $\hat q_{\mathrm H}(t)=\frac{\ell}{\sqrt2}(\hat a\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\hat a^\dagger\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})$ の行列要素が、$\langle n-1 | \hat q_{\mathrm H}(t) | n \rangle =\ell\sqrt{n/2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ となって同じ振動数で振動する。古典の式で $J=n\hbar$ とおくと

$$\sqrt{\frac{n\hbar}{2m\omega}}=\ell\sqrt{\frac n2}=\lvert \langle n-1 | \hat q | n \rangle \rvert$$

で、両者は一致する。$n\hbar$ はちょうど $J_n$ と $J_{n-1}$ の平均 $\frac12\bigl[(n+\frac12)+(n-\frac12)\bigr]\hbar$ である。「量子の遷移 $n\to n-1$ の行列要素は、2つの準位の中間の作用変数を持つ古典の軌道の Fourier 成分に対応する」という対応は、一般のポテンシャルでは $n$ が大きいときの近似だが、調和振動子では厳密になる。古典の $q(t)$ が倍音を持たないことが、量子の行列要素が隣の準位にしか無いこと（$\Delta n=\pm1$ の選択則）に対応している。